Precálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{4} (2 x + 1)}$

Paso 1

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} (2 x + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{2} (x^{2} (2 x + 1))}$

Paso 1.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{2} (x^{2} (2 x + 1))}$

Paso 1.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{x^{2} (2 x + 1)}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1}$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

Paso 2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{2} x + x^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Mueve $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2}}$

Paso 2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2}}$

Paso 2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{1 + 2} + x^{2}}$

Paso 2.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{3} + x^{2}}$

Paso 3

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Paso 4.1.2

Divide $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Paso 4.2.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 4.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}}}$

Paso 4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x}}$

Paso 4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x}}$

Paso 4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 6.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 6.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{2 + 0}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $0 - 1 \cdot 4$ y $2 + 0$ .

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Paso 8.1.1

Reescribe $0$ como $- 1 (0)$ .

$\frac{- 1 (0) - 1 \cdot 4}{2 + 0}$

Paso 8.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 4$ .

$\frac{- 1 (0) - 1 (4)}{2 + 0}$

Paso 8.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (0) - 1 (4)$ .

$\frac{- 1 (0 + 4)}{2 + 0}$

Paso 8.1.4

Factoriza $2$ de $- 1 (0 + 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 + 0}$

Paso 8.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 (1) + 0}$

Paso 8.1.5.2

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 0}$

Paso 8.1.5.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1 + 2 \cdot 0$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot (1 + 0)}$

Paso 8.1.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot (1 + 0)}$

Paso 8.1.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (0 + 2)}{1 + 0}$

Paso 8.2

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{1 + 0}$

Paso 8.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{1}$

Paso 8.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2}{1}$

Paso 8.5

Divide $- 2$ por $1$ .

$- 2$