Precálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{8} 4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{k}$ y $a_{k + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ y ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ de ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Paso 2.2.3

Suma $k$ y $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Paso 2.2.5

Resta $k$ de $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Paso 2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$r = \frac{2}{3}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $k$ en $4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Paso 3.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

Paso 3.2.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.5

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.2.5.1

Cancela el factor común.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.5.2

Reescribe la expresión.

$a = 4 \cdot 1$

Paso 3.2.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$a = 4$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$4 \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Paso 5.1.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}})$

Paso 5.1.2

Combinar.

$4 \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$4 \frac{3 + 3 (- \frac{2^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2^{8}}{3^{8}}$ al numerador.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $3$ de $3^{8}$ .

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4.3.3

Cancela el factor común.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4.3.4

Reescribe la expresión.

$4 \frac{3 + \frac{- 2^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4.4

Eleva $2$ a la potencia de $8$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4.5

Eleva $3$ a la potencia de $7$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4.6

Multiplica $- 1$ por $256$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \frac{3 - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4.8

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4.9

Combina $3$ y $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.11.1

Multiplica $3$ por $2187$ .

$4 \frac{\frac{6561 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.4.11.2

Resta $256$ de $6561$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Paso 5.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 - 2}$

Paso 5.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{1}$

Paso 5.6

Divide $\frac{6305}{2187}$ por $1$ .

$4 (\frac{6305}{2187})$

Paso 5.7

Multiplica $4 (\frac{6305}{2187})$ .

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Paso 5.7.1

Combina $4$ y $\frac{6305}{2187}$ .

$\frac{4 \cdot 6305}{2187}$

Paso 5.7.2

Multiplica $4$ por $6305$ .

$\frac{25220}{2187}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{25220}{2187}$

Forma decimal:

$11.53177869 \dots$

Forma de número mixto:

$11 \frac{1163}{2187}$