Precálculo Ejemplos

$2 x^{2} + 8 y^{2} = 16$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Divide cada término por $16$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{2 x^{2}}{16} + \frac{8 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\sqrt{8 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{8 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{8 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{8 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{8 - 2^{1}}$

Paso 5.3.4.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{8 - 1 \cdot 2}$

Paso 5.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{8 - 2}$

Paso 5.3.5.2

Resta $2$ de $8$ .

$\sqrt{6}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + 2 \sqrt{2}, 0)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(2 \sqrt{2}, 0)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (2 \sqrt{2}), 0)$

Paso 6.6

Simplifica.

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + \sqrt{6}, 0)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(\sqrt{6}, 0)$

Paso 7.4

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (\sqrt{6}), 0)$

Paso 7.6

Simplifica.

$(- \sqrt{6}, 0)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{8 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{8 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{8 - 2^{1}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.7

Resta $2$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.2

Combina $\sqrt{6}$ y $\sqrt{2}$ en un solo radical.

$\frac{\sqrt{\frac{6}{2}}}{2}$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 8.3.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2}}}{2}$

Paso 8.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}{2}$

Paso 8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}{2}$

Paso 8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{\frac{3}{1}}}{2}$

Paso 8.3.3.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 10