Precálculo Ejemplos

$(3, \frac{2 π}{3})$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(3)}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 π}{3}$ .

$r = \sqrt{9 + \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2

Aplica la regla del producto a $2 π$ .

$r = \sqrt{9 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{9 \cdot \frac{9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6

Combina $9$ y $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 9 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2

Multiplica $9$ por $9$ .

$r = \sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8

Reescribe $\sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$ como $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ .

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9

Simplifica el denominador.

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Paso 3.9.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{2 π}{3}}{3})$

Paso 5

La inversa de la tangente de $\frac{2 π}{9}$ es $θ = 34.92011439 °$ .

$r = \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = 34.92011439 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma $(r, θ)$ .

$(\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}, 34.92011439 °)$