Precálculo Ejemplos

\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a

1

$1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea

1

$1$ .

\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable

h

$h$ representa el desplazamiento de x desde el origen,

k

$k$ representa el desplazamiento de y desde el origen,

a

$a$ .

a = 12

$a = 12$

b = 5

$b = 5$

k = 2

$k = 2$

h = - 3

$h = - 3$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de

(h, k)

$(h, k)$ . Sustituye los valores de

h

$h$ y

k

$k$ .

(- 3, 2)

$(- 3, 2)$

Paso 5

Obtén

c

$c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula.

\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Eleva

12

$12$ a la potencia de

2

$2$ .

\sqrt{144 + {(5)}^{2}}

$\sqrt{144 + {(5)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva

5

$5$ a la potencia de

2

$2$ .

\sqrt{144 + 25}

$\sqrt{144 + 25}$

Paso 5.3.3

Suma

144

$144$ y

25

$25$ .

\sqrt{169}

$\sqrt{169}$

Paso 5.3.4

Reescribe

169

$169$ como

13^{2}

$13^{2}$ .

\sqrt{13^{2}}

$\sqrt{13^{2}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

13

$13$

13

$13$

13

$13$

Paso 6

Obtén los vértices.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar

a

$a$ a

h

$h$ .

(h + a, k)

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

a

$a$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(9, 2)

$(9, 2)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de

a

$a$ de

h

$h$ .

(h - a, k)

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

a

$a$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(- 15, 2)

$(- 15, 2)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de

(h \pm a, k)

$(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

(9, 2), (- 15, 2)

$(9, 2), (- 15, 2)$

(9, 2), (- 15, 2)

$(9, 2), (- 15, 2)$

Paso 7

Obtén los focos.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar

c

$c$ a

h

$h$ .

(h + c, k)

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

c

$c$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(10, 2)

$(10, 2)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de

c

$c$ de

h

$h$ .

(h - c, k)

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

c

$c$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(- 16, 2)

$(- 16, 2)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de

(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

(10, 2), (- 16, 2)

$(10, 2), (- 16, 2)$

(10, 2), (- 16, 2)

$(10, 2), (- 16, 2)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula.

\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}}{12}

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}}{12}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Eleva

12

$12$ a la potencia de

2

$2$ .

\frac{\sqrt{144 + 5^{2}}}{12}

$\frac{\sqrt{144 + 5^{2}}}{12}$

Paso 8.3.2

Eleva

5

$5$ a la potencia de

2

$2$ .

\frac{\sqrt{144 + 25}}{12}

$\frac{\sqrt{144 + 25}}{12}$

Paso 8.3.3

Suma

144

$144$ y

25

$25$ .

\frac{\sqrt{169}}{12}

$\frac{\sqrt{169}}{12}$

Paso 8.3.4

Reescribe

169

$169$ como

13^{2}

$13^{2}$ .

\frac{\sqrt{13^{2}}}{12}

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{12}$

Paso 8.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

\frac{13}{12}

$\frac{13}{12}$

\frac{13}{12}

$\frac{13}{12}$

\frac{13}{12}

$\frac{13}{12}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de

b

$b$ y

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

\frac{5^{2}}{13}

$\frac{5^{2}}{13}$

Paso 9.3

Eleva

5

$5$ a la potencia de

2

$2$ .

\frac{25}{13}

$\frac{25}{13}$

\frac{25}{13}

$\frac{25}{13}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma

y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

y = \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Paso 11.2

Simplifica

\frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2

$\frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 3

$- 3$ .

y = \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2

$y = \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Paso 11.2.1.3

Combina

\frac{5}{12}

$\frac{5}{12}$ y

x

$x$ .

y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de

3

$3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.4.1

Factoriza

3

$3$ de

12

$12$ .

y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 (4)} \cdot 3 + 2

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Paso 11.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Paso 11.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2$

Paso 11.2.2

Para escribir

$2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 11.2.3

Combina

$2$ y

$\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 11.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.5.1

Multiplica

$2$ por

$4$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 8}{4}$

Paso 11.2.5.2

Suma

$5$ y

$8$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Paso 12.2

Simplifica

$- \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 3$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Paso 12.2.1.3

Combina

$x$ y

$\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Paso 12.2.1.4

Cancela el factor común de

$3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en

$- \frac{5}{12}$ al numerador.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot 3 + 2$

Paso 12.2.1.4.2

Factoriza

$3$ de

$12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Paso 12.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Paso 12.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Paso 12.2.1.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.5.1

Mueve

$5$ a la izquierda de

$x$ .

$y = - \frac{5 \cdot x}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Paso 12.2.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2$

Paso 12.2.2

Para escribir

$2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 12.2.3

Combina

$2$ y

$\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Paso 12.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 12.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.1

Multiplica

$2$ por

$4$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 8}{4}$

Paso 12.2.5.2

Suma

$- 5$ y

$8$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro:

$(- 3, 2)$

Vértices:

$(9, 2), (- 15, 2)$

Focos:

$(10, 2), (- 16, 2)$

Excentricidad:

$\frac{13}{12}$

Parámetro focal:

$\frac{25}{13}$

Asíntotas:

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$ ,

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Paso 15