Precálculo Ejemplos

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 12$

$b = 5$

$k = 2$

$h = - 3$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 3, 2)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{144 + {(5)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{144 + 25}$

Paso 5.3.3

Suma $144$ y $25$ .

$\sqrt{169}$

Paso 5.3.4

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$\sqrt{13^{2}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$13$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(9, 2)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 15, 2)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(9, 2), (- 15, 2)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(10, 2)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 16, 2)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(10, 2), (- 16, 2)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}}{12}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 5^{2}}}{12}$

Paso 8.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 25}}{12}$

Paso 8.3.3

Suma $144$ y $25$ .

$\frac{\sqrt{169}}{12}$

Paso 8.3.4

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{12}$

Paso 8.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{13}{12}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{5^{2}}{13}$

Paso 9.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{25}{13}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Paso 11.2

Simplifica $\frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Paso 11.2.1.3

Combina $\frac{5}{12}$ y $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Paso 11.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Paso 11.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2$

Paso 11.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 11.2.3

Combina $2$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 11.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 8}{4}$

Paso 11.2.5.2

Suma $5$ y $8$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Paso 12.2

Simplifica $- \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Paso 12.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Paso 12.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{12}$ al numerador.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot 3 + 2$

Paso 12.2.1.4.2

Factoriza $3$ de $12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Paso 12.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Paso 12.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Paso 12.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.5.1

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{5 \cdot x}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Paso 12.2.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2$

Paso 12.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 12.2.3

Combina $2$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Paso 12.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 12.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.5.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 8}{4}$

Paso 12.2.5.2

Suma $- 5$ y $8$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(- 3, 2)$

Vértices: $(9, 2), (- 15, 2)$

Focos: $(10, 2), (- 16, 2)$

Excentricidad: $\frac{13}{12}$

Parámetro focal: $\frac{25}{13}$

Asíntotas: $y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Paso 15