Precálculo Ejemplos

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - k} \cdot {(\cos (x))}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 0} \cdot \cos^{0} (x) + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 1} \cdot \cos^{1} (x) + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 2} \cdot \cos^{2} (x)$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Paso 4

Simplifica el resultado del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1.1

Factoriza $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ de $1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ .

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ de $1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Paso 4.1.1.2

Factoriza $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ de $2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Paso 4.1.1.3

Factoriza $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ de $1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$

Paso 4.1.1.4

Factoriza $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ de $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$

Paso 4.1.1.5

Factoriza $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ de $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x) + 1 \cdot \cos^{2} (x))$

Paso 4.1.2

Mueve $1 \cdot \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 1 \cdot \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Paso 4.1.3

Factoriza $1$ de $1 \cdot \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x)) + 1 \cdot \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Paso 4.1.4

Factoriza $1$ de $1 \cdot \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x)) + 1 (\cos^{2} (x)) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Paso 4.1.5

Factoriza $1$ de $1 (\sin^{2} (x)) + 1 (\cos^{2} (x))$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Paso 4.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Paso 4.3

Simplifica los términos.

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Paso 4.3.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 \cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Paso 4.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $\cos^{0} (x)$ por $1$ .

$\cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Paso 4.3.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$ por $1$ .

$1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$

Paso 4.3.3.2

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$1 + \sin (2 x)$