Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (x - 1) + 3$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Obtén dónde la expresión $\log_{\frac{1}{3}} ({(x - 1)}^{2}) + 3$ no está definida.

$x = 1$

Paso 1.2

Ignora el logaritmo y considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 1.3

No hay asíntotas horizontales porque $Q (x)$ es $1$ .

No hay asíntotas horizontales

Paso 1.4

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.5

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 1$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas verticales: $x = 1$

No hay asíntotas horizontales

Paso 2

Obtén el punto en $x = 2$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 2 \log_{\frac{1}{3}} ((2) - 1) + 3$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Resta $1$ de $2$ .

$f (2) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (1) + 3$

Paso 2.2.1.2

El logaritmo en base $\frac{1}{3}$ de $1$ es $0$ .

$f (2) = 2 \cdot 0 + 3$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (2) = 0 + 3$

Paso 2.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$f (2) = 3$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 2.3

Convierte $3$ a decimal.

$y = 3$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 4$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = 2 \log_{\frac{1}{3}} ((4) - 1) + 3$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Resta $1$ de $4$ .

$f (4) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (3) + 3$

Paso 3.2.1.2

El logaritmo en base $\frac{1}{3}$ de $3$ es $- 1$ .

$f (4) = 2 \cdot - 1 + 3$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (4) = - 2 + 3$

Paso 3.2.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$f (4) = 1$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 3.3

Convierte $1$ a decimal.

$y = 1$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 10$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $10$ en la expresión.

$f (10) = 2 \log_{\frac{1}{3}} ((10) - 1) + 3$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Resta $1$ de $10$ .

$f (10) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (9) + 3$

Paso 4.2.1.2

El logaritmo en base $\frac{1}{3}$ de $9$ es $- 2$ .

$f (10) = 2 \cdot - 2 + 3$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f (10) = - 4 + 3$

Paso 4.2.2

Suma $- 4$ y $3$ .

$f (10) = - 1$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 4.3

Convierte $- 1$ a decimal.

$y = - 1$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 1$ y los puntos $(2, 3), (4, 1), (10, - 1)$ .

Asíntota vertical: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ 10 & - 1 \end{array}$

Paso 6