Precálculo Ejemplos

$\sin (75) - \sin (15)$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

El valor exacto de $\sin (75)$ es $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Paso 1.1.1

Divide $75$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\sin (30 + 45) - \sin (15)$

Paso 1.1.2

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45) - \sin (15)$

Paso 1.1.3

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45) - \sin (15)$

Paso 1.1.4

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45) - \sin (15)$

Paso 1.1.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45) - \sin (15)$

Paso 1.1.6

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (15)$

Paso 1.1.7

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1.1

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (15)$

Paso 1.1.7.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (15)$

Paso 1.1.7.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (15)$

Paso 1.1.7.1.2.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \sin (15)$

Paso 1.1.7.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \sin (15)$

Paso 1.1.7.1.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \sin (15)$

Paso 1.1.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - \sin (15)$

Paso 1.2

El valor exacto de $\sin (15)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.2.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - \sin (45 - 30)$

Paso 1.2.2

Separa la negación.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - \sin (45 - (30))$

Paso 1.2.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Paso 1.2.4

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Paso 1.2.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Paso 1.2.6

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Paso 1.2.7

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.2.8

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.2.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.2.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.2.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.2.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.2.8.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.8.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Paso 1.2.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Paso 1.2.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Paso 2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{4}$

Paso 3.2

Multiplica $- - \sqrt{2}$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{4}$

Paso 3.2.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{4}$

Paso 4.2

Resta $\sqrt{6}$ de $\sqrt{6}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{4}$

Paso 4.3

Suma $2 \sqrt{2}$ y $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Paso 4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$