Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{x (x^{2} + 1)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Paso 1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.1.2

Divide $A (x^{2} + 1)$ por $1$ .

$1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.5.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.4.2

Divide $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Paso 1.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Paso 1.5.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.6.1

Mueve $x$ .

$1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Paso 1.5.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Paso 1.6

Mueve $A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Paso 3.2

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 3.4

Resuelve $B$ en $0 = 1 + B$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 3.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Paso 3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{x^{2} + 1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Paso 5.2

Suma $(- 1) \cdot x$ y $0$ .

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

Paso 5.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x^{2} + 1}$