Precálculo Ejemplos

$\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{x^{2} + 5 x - 6}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + 5 x - 6$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $5$ .

$- 1, 6$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x + 2}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{2}{x + 6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{x + 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 1) (x + 6)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x + 2}{x - 1}$ por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} - \frac{2}{x + 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{2}{x + 6}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} - \frac{2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 1) (x + 6)$ .

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 2) (x + 6) - 2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 2) (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Expande $(x + 2) (x + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 6) + 2 (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6 + 2 (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 6.2.1.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 2 x + 12 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 6.2.2

Suma $6 x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 x - 2 \cdot - 1 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 6.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 x + 2 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Resta $2 x$ de $8 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 12 + 2 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 7.2

Suma $12$ y $2$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 14 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 7.3

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 6 x + 14 - 14$ .

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Paso 7.3.1

Resta $14$ de $14$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 0}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 7.3.2

Suma $x^{2} + 6 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 6 x}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 7.4

Factoriza $x$ de $x^{2} + 6 x$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 6 x}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 7.4.2

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 7.4.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 7.5

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 7.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)}$

Paso 7.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{x - 1}$