Precálculo Ejemplos

$\frac{50}{1 + e^{- x}} = 4$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $1 + e^{- x}$ .

$\frac{50}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = 4 (1 + e^{- x})$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $1 + e^{- x}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{50}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = 4 (1 + e^{- x})$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$50 = 4 (1 + e^{- x})$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica $4 (1 + e^{- x})$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$50 = 4 \cdot 1 + 4 e^{- x}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$50 = 4 + 4 e^{- x}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $4 + 4 e^{- x} = 50$ .

$4 + 4 e^{- x} = 50$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$4 e^{- x} = 50 - 4$

Paso 3.2.2

Resta $4$ de $50$ .

$4 e^{- x} = 46$

Paso 3.3

Divide cada término en $4 e^{- x} = 46$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $4 e^{- x} = 46$ por $4$ .

$\frac{4 e^{- x}}{4} = \frac{46}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 e^{- x}}{4} = \frac{46}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $e^{- x}$ por $1$ .

$e^{- x} = \frac{46}{4}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $46$ y $4$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $46$ .

$e^{- x} = \frac{2 (23)}{4}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$e^{- x} = \frac{2 \cdot 23}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e^{- x} = \frac{2 \cdot 23}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{- x} = \frac{23}{2}$

Paso 3.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (\frac{23}{2})$

Paso 3.5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1

Expande $\ln (e^{- x})$ ; para ello, mueve $- x$ fuera del logaritmo.

$- x \ln (e) = \ln (\frac{23}{2})$

Paso 3.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- x \cdot 1 = \ln (\frac{23}{2})$

Paso 3.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- x = \ln (\frac{23}{2})$

Paso 3.6

Divide cada término en $- x = \ln (\frac{23}{2})$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $- x = \ln (\frac{23}{2})$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\ln (\frac{23}{2})}{- 1}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{\ln (\frac{23}{2})}{- 1}$

Paso 3.6.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{23}{2})}{- 1}$

Paso 3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (\frac{23}{2})}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \ln (\frac{23}{2})$

Paso 3.6.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (\frac{23}{2})$ como $- \ln (\frac{23}{2})$ .

$x = - \ln (\frac{23}{2})$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \ln (\frac{23}{2})$

Forma decimal:

$x = - 2.44234703 \dots$