Precálculo Ejemplos

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Paso 1.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 - 12$

Paso 1.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 - 12$

Paso 1.1.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 20 \cdot 1 - 12$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$1 - 9 + 20 \cdot 1 - 12$

Paso 1.1.3.5

Resta $9$ de $1$ .

$- 8 + 20 \cdot 1 - 12$

Paso 1.1.3.6

Multiplica $20$ por $1$ .

$- 8 + 20 - 12$

Paso 1.1.3.7

Suma $- 8$ y $20$ .

$12 - 12$

Paso 1.1.3.8

Resta $12$ de $12$ .

$0$

Paso 1.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12}{x - 1}$

Paso 1.1.5

Divide $x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ por $x - 1$ .

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Paso 1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$20 x$

$12$

Paso 1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$

Paso 1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Paso 1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$

Paso 1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 8 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$

Paso 1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Paso 1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 8 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Paso 1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$

Paso 1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$

Paso 1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $12 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$

Paso 1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							+	$12 x$	-	$12$

Paso 1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $12 x - 12$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							-	$12 x$	+	$12$

Paso 1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							-	$12 x$	+	$12$
										$0$

Paso 1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 8 x + 12$

Paso 1.1.6

Escribe $x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ como un conjunto de factores.

$(x - 1) (x^{2} - 8 x + 12) = 0$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} - 8 x + 12$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{2} - 8 x + 12$ con el método AC.

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Paso 1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 6, - 2$

Paso 1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 1) ((x - 6) (x - 2)) = 0$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) (x - 6) (x - 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 4.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x - 6) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 1, 6, 2$