Precálculo Ejemplos

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} = 4$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $3$ .

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$2^{x} - 2^{- x} = 12$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe $2^{- x}$ como exponenciación.

$2^{x} - {(2^{x})}^{- 1} = 12$

Paso 3.2

Sustituye $u$ por $2^{x}$ .

$u - u^{- 1} = 12$

Paso 3.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} = 12$

Paso 3.4

Resuelve $u$

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Paso 3.4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 3.4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 3.4.2

Multiplica cada término en $u - \frac{1}{u} = 12$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica cada término en $u - \frac{1}{u} = 12$ por $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 12 u$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 12 u$

Paso 3.4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 3.4.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{u}$ al numerador.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u$

Paso 3.4.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u$

Paso 3.4.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$u^{2} - 1 = 12 u$

Paso 3.4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.3.1

Resta $12 u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 1 - 12 u = 0$

Paso 3.4.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4.3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 12$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.3.4.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 3.4.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.3

Suma $144$ y $4$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.4

Reescribe $148$ como $2^{2} \cdot 37$ .

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Paso 3.4.3.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $148$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

Paso 3.4.3.4.3

Simplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ .

$u = 6 \pm \sqrt{37}$

Paso 3.4.3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}$

Paso 3.5

Sustituye $6 + \sqrt{37}$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$6 + \sqrt{37} = 2^{x}$

Paso 3.6

Resuelve $6 + \sqrt{37} = 2^{x}$ .

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = 6 + \sqrt{37}$ .

$2^{x} = 6 + \sqrt{37}$

Paso 3.6.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (6 + \sqrt{37})$

Paso 3.6.3

Expande $\ln (2^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$

Paso 3.6.4

Divide cada término en $x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$ por $\ln (2)$ y simplifica.

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Paso 3.6.4.1

Divide cada término en $x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$ por $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Paso 3.6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 3.6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Paso 3.6.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Paso 3.7

Sustituye $6 - \sqrt{37}$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$6 - \sqrt{37} = 2^{x}$

Paso 3.8

Resuelve $6 - \sqrt{37} = 2^{x}$ .

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Paso 3.8.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = 6 - \sqrt{37}$ .

$2^{x} = 6 - \sqrt{37}$

Paso 3.8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (6 - \sqrt{37})$

Paso 3.8.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (6 - \sqrt{37})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.8.4

No hay soluciones para $2^{x} = 6 - \sqrt{37}$

No hay solución

Paso 3.9

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Forma decimal:

$x = 3.59487843 \dots$