Precálculo Ejemplos

f (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}$

Paso 1

Establece el denominador en

\frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}

$\frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}$ igual que

0

$0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

x^{2} - 3 x - 4 = 0

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Paso 2

Resuelve

x

$x$

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Paso 2.1

Factoriza

x^{2} - 3 x - 4

$x^{2} - 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 2.1.1

Considera la forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea

c

$c$ y cuya suma sea

b

$b$ . En este caso, cuyo producto es

- 4

$- 4$ y cuya suma es

- 3

$- 3$ .

- 4, 1

$- 4, 1$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

(x - 4) (x + 1) = 0

$(x - 4) (x + 1) = 0$

(x - 4) (x + 1) = 0

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

0

$0$ , la expresión completa será igual a

0

$0$ .

x - 4 = 0

$x - 4 = 0$

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

Paso 2.3

Establece

x - 4

$x - 4$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

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Paso 2.3.1

Establece

x - 4

$x - 4$ igual a

0

$0$ .

x - 4 = 0

$x - 4 = 0$

Paso 2.3.2

Suma

4

$4$ a ambos lados de la ecuación.

x = 4

$x = 4$

x = 4

$x = 4$

Paso 2.4

Establece

x + 1

$x + 1$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

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Paso 2.4.1

Establece

x + 1

$x + 1$ igual a

0

$0$ .

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resta

1

$1$ de ambos lados de la ecuación.

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen

(x - 4) (x + 1) = 0

$(x - 4) (x + 1) = 0$ verdadera.

x = 4, - 1

$x = 4, - 1$

x = 4, - 1

$x = 4, - 1$

Paso 3

El dominio son todos los valores de

x

$x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

(- \infty, - 1) \cup (- 1, 4) \cup (4, \infty)

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 4) \cup (4, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

{x | x \neq - 1, 4}

${x | x \neq - 1, 4}$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores

y

$y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 4) \cup (4, \infty), {x | x \neq - 1, 4}$

Rango:

$(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Paso 6