Precálculo Ejemplos

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 2) = \log_{2} (x + 6)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x (x + 2)) = \log_{2} (x + 6)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 2) = \log_{2} (x + 6)$

Paso 1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 2) = \log_{2} (x + 6)$

Paso 1.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 2 x) = \log_{2} (x + 6)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{2} + 2 x = x + 6$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 x - x = 6$

Paso 3.1.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$x^{2} + x = 6$

Paso 3.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $x^{2} + x - 6$ con el método AC.

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Paso 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 3.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3.6

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.6.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 3$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 2) = \log_{2} (x + 6)$ sea verdadera.

$x = 2$