Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 5) (x + 15)) = 3$

Paso 1.2

Expande $(x - 5) (x + 15)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{5} (x (x + 15) - 5 (x + 15)) = 3$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 (x + 15)) = 3$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Paso 1.3.1.2

Mueve $15$ a la izquierda de $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 15 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $15$ .

$\log_{5} (x^{2} + 15 x - 5 x - 75) = 3$

Paso 1.3.2

Resta $5 x$ de $15 x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$

Paso 2

Reescribe $\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{3} = x^{2} + 10 x - 75$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$ .

$x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$

Paso 3.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$x^{2} + 10 x - 75 = 125$

Paso 3.3

Resta $125$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 10 x - 75 - 125 = 0$

Paso 3.4

Resta $125$ de $- 75$ .

$x^{2} + 10 x - 200 = 0$

Paso 3.5

Factoriza $x^{2} + 10 x - 200$ con el método AC.

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Paso 3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 200$ y cuya suma es $10$ .

$- 10, 20$

Paso 3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 10) (x + 20) = 0$

Paso 3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 20 = 0$

Paso 3.7

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 3.7.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 3.8

Establece $x + 20$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.8.1

Establece $x + 20$ igual a $0$ .

$x + 20 = 0$

Paso 3.8.2

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 20$

Paso 3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 10) (x + 20) = 0$ verdadera.

$x = 10, - 20$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$ sea verdadera.

$x = 10$