Precálculo Ejemplos

$\sec (\arcsin (x - 1))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (x - 1)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ . Por lo tanto, $\sec (\arcsin (x - 1))$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x - 1) (1 - (x - 1))}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{(x + 0) (1 - (x - 1))}}$

Paso 2.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - (x - 1))}}$

Paso 2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - x - - 1)}}$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - x + 1)}}$

Paso 2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ por $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Paso 4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ por $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Paso 4.2

Eleva $\sqrt{x (- x + 2)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Paso 4.3

Eleva $\sqrt{x (- x + 2)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} {\sqrt{x (- x + 2)}}^{1}}$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1 + 1}}$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}}$

Paso 4.6

Reescribe ${\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}$ como $x (- x + 2)$ .

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Paso 4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x (- x + 2)}$ como ${(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{({(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{1}}$

Paso 4.6.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- x + 2)}$

Paso 5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) + 2)}$

Paso 6

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) - 1 (- 2))}$

Paso 7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x - 2))}$

Paso 8

Reescribe los negativos.

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Paso 8.1

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- 1 (x - 2))}$

Paso 8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (x - 2)}$