Precálculo Ejemplos

sec (arcsin (x - 1))

$\sec (\arcsin (x - 1))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices

(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)

$(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ ,

(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, 0)

$(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces

arcsin (x - 1)

$\arcsin (x - 1)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por

(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)

$(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ . Por lo tanto,

sec (arcsin (x - 1))

$\sec (\arcsin (x - 1))$ es

\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$ .

\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe

1

$1$ como

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde

a = 1

$a = 1$ y

b = x - 1

$b = x - 1$ .

\frac{1}{\sqrt{(1 + x - 1) (1 - (x - 1))}}

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x - 1) (1 - (x - 1))}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Resta

1

$1$ de

1

$1$ .

\frac{1}{\sqrt{(x + 0) (1 - (x - 1))}}

$\frac{1}{\sqrt{(x + 0) (1 - (x - 1))}}$

Paso 2.3.2

Suma

x

$x$ y

0

$0$ .

\frac{1}{\sqrt{x (1 - (x - 1))}}

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - (x - 1))}}$

Paso 2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{1}{\sqrt{x (1 - x - - 1)}}

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - x - - 1)}}$

Paso 2.3.4

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

\frac{1}{\sqrt{x (1 - x + 1)}}

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - x + 1)}}$

Paso 2.3.5

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Paso 3

Multiplica

\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ por

\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Paso 4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Multiplica

\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ por

\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)} \sqrt{x (- x + 2)}}

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Paso 4.2

Eleva

\sqrt{x (- x + 2)}

$\sqrt{x (- x + 2)}$ a la potencia de

1

$1$ .

\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} \sqrt{x (- x + 2)}}

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Paso 4.3

Eleva

\sqrt{x (- x + 2)}

$\sqrt{x (- x + 2)}$ a la potencia de

1

$1$ .

\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} {\sqrt{x (- x + 2)}}^{1}}

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} {\sqrt{x (- x + 2)}}^{1}}$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1 + 1}}

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1 + 1}}$

Paso 4.5

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}}

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}}$

Paso 4.6

Reescribe

{\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}

${\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}$ como

x (- x + 2)

$x (- x + 2)$ .

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Paso 4.6.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{x (- x + 2)}

$\sqrt{x (- x + 2)}$ como

{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}

${(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{({(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{({(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.6.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{1}}$

Paso 4.6.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- x + 2)}$

Paso 5

Factoriza

$- 1$ de

$- x$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) + 2)}$

Paso 6

Reescribe

$2$ como

$- 1 (- 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) - 1 (- 2))}$

Paso 7

Factoriza

$- 1$ de

$- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x - 2))}$

Paso 8

Reescribe los negativos.

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Paso 8.1

Reescribe

$- (x - 2)$ como

$- 1 (x - 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- 1 (x - 2))}$

Paso 8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (x - 2)}$