Precálculo Ejemplos

$4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1 = 0$

Paso 1

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $4 u^{2}$ como ${(2 u)}^{2}$ .

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

Paso 2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1^{2} = 0$

Paso 2.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Paso 2.4

Reescribe el polinomio.

${(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Paso 2.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 2 u$ y $b = 1$ .

${(2 u - 1)}^{2} = 0$

Paso 3

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Paso 4

Resuelve $u$

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Paso 4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Paso 4.2

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Paso 5

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Paso 6

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 8

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 9

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 9.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 9.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 9.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 9.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 10

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 10.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 10.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 10.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 11

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$