Precálculo Ejemplos

$\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$

Paso 1

Resta $\sqrt{2 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{x} = 1 - \sqrt{2 x}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x}}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$x = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ como $(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ .

$x = (1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = 1 (1 - \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$x = 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $- \sqrt{2 x}$ por $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $- \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 1 \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Multiplica $\sqrt{2 x}$ por $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{2 x}$ a la potencia de $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{2 x}$ a la potencia de $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ como $2 x$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.5.5

Simplifica.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 2 x$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $\sqrt{2 x}$ de $- \sqrt{2 x}$ .

$x = 1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x$

Paso 4

Resuelve $- 2 \sqrt{2 x}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$ .

$1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $- 2 \sqrt{2 x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x - 1$

Paso 4.2.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sqrt{2 x} = x - 1 - 2 x$

Paso 4.2.3

Resta $2 x$ de $x$ .

$- 2 \sqrt{2 x} = - x - 1$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 2 \sqrt{2 x})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

${(- 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.2.1.2.1

Factoriza el negativo.

${(- (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

${(- (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(- 2^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(- 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(- 2^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2.6

Suma $2$ y $1$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla del producto a $- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Aplica la regla del producto a $- 2^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Multiplica ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.6.2.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.6.2.2

Reescribe la expresión.

$2^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.8

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.8.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.8.2.1

Cancela el factor común.

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.8.2.2

Reescribe la expresión.

$8 x^{1} = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.9

Simplifica.

$8 x = {(- x - 1)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica ${(- x - 1)}^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1

Reescribe ${(- x - 1)}^{2}$ como $(- x - 1) (- x - 1)$ .

$8 x = (- x - 1) (- x - 1)$

Paso 6.3.1.2

Expande $(- x - 1) (- x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x = - x (- x - 1) - 1 (- x - 1)$

Paso 6.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x - 1)$

Paso 6.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Paso 6.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Paso 6.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$8 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Paso 6.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$8 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Paso 6.3.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 x = 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Paso 6.3.1.3.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$8 x = x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Paso 6.3.1.3.1.5

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 6.3.1.3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 x = x^{2} + 1 x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Paso 6.3.1.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$8 x = x^{2} + x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Paso 6.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1 (- x)$ .

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Paso 6.3.1.3.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 x = x^{2} + x + 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 6.3.1.3.1.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$8 x = x^{2} + x + x - 1 \cdot - 1$

Paso 6.3.1.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 x = x^{2} + x + x + 1$

Paso 6.3.1.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$8 x = x^{2} + 2 x + 1$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} + 2 x + 1 = 8 x$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Resta $8 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 x + 1 - 8 x = 0$

Paso 7.2.2

Resta $8 x$ de $2 x$ .

$x^{2} - 6 x + 1 = 0$

Paso 7.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 6$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 7.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.3

Resta $4$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.5.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.5.3

Simplifica $\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 7.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$ sea verdadera.

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 0.17157287 \dots$