Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ como una ecuación.

$y = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{4^{y}}{1 + 4^{y}}$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados por $1 + 4^{y}$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Paso 3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $1 + 4^{y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Paso 3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$4^{y} = x (1 + 4^{y})$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Simplifica $x (1 + 4^{y})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4^{y} = x \cdot 1 + x \cdot 4^{y}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.2.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Reordena $x$ y $4^{y}$ .

$4^{y} = x + 4^{y} \cdot x$

Paso 3.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Reordena los factores en $x + 4^{y} x$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Paso 3.4.2

Resta $x \cdot 4^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$4^{y} - x \cdot 4^{y} = x$

Paso 3.4.3

Factoriza $4^{y}$ de $4^{y} - x \cdot 4^{y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1

Multiplica por $1$ .

$4^{y} \cdot 1 - x \cdot 4^{y} = x$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $4^{y}$ de $- x \cdot 4^{y}$ .

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x) = x$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $4^{y}$ de $4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x)$ .

$4^{y} (1 - x) = x$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $4^{y} (1 - x) = x$ por $1 - x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $4^{y} (1 - x) = x$ por $1 - x$ .

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $4^{y}$ por $1$ .

$4^{y} = \frac{x}{1 - x}$

Paso 3.4.5

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Paso 3.4.6

Expande $\ln (4^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Paso 3.4.7

Divide cada término en $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ por $\ln (4)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.7.1

Divide cada término en $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ por $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Paso 3.4.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.7.2.1

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Paso 3.4.7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{1 - (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})})}{\ln (4)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x}}{1 + 4^{x}} - \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Paso 5.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Paso 5.2.3.3

Reescribe $\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.3.1

Resta $4^{x}$ de $4^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 0}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Paso 5.2.3.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Paso 5.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Paso 5.2.4.2

Cancela el factor común de $1 + 4^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Paso 5.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

Paso 5.2.5

Expande $\ln (4^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Paso 5.2.6.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Paso 5.3.3.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}$

Paso 5.3.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + \frac{x}{1 - x}}$

Paso 5.3.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}}$

Paso 5.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x + x}{1 - x}}$

Paso 5.3.4.5

Reescribe $\frac{1 - x + x}{1 - x}$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.5.1

Suma $- x$ y $x$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 + 0}{1 - x}}$

Paso 5.3.4.5.2

Suma $1$ y $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1}{1 - x}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $1 - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$