Precálculo Ejemplos

$\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 1} = 5$

Paso 1

Resta $\sqrt{x - 1}$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{x + 4} = 5 - \sqrt{x - 1}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x + 4}}^{2} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 4}$ como ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 4)}^{1} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$x + 4 = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$ como $(5 - \sqrt{x - 1}) (5 - \sqrt{x - 1})$ .

$x + 4 = (5 - \sqrt{x - 1}) (5 - \sqrt{x - 1})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(5 - \sqrt{x - 1}) (5 - \sqrt{x - 1})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 4 = 5 (5 - \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} (5 - \sqrt{x - 1})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 4 = 5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} (5 - \sqrt{x - 1})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 4 = 5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 5 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$x + 4 = 25 + 5 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 5 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 5 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $- \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + 1 \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Multiplica $\sqrt{x - 1}$ por $1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{x - 1}$ a la potencia de $1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{x - 1}$ a la potencia de $1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ como $x - 1$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.5.5

Simplifica.

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + x - 1$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $1$ de $25$ .

$x + 4 = 24 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + x$

Paso 3.3.1.3.3

Resta $5 \sqrt{x - 1}$ de $- 5 \sqrt{x - 1}$ .

$x + 4 = 24 - 10 \sqrt{x - 1} + x$

Paso 4

Resuelve $- 10 \sqrt{x - 1}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $24 - 10 \sqrt{x - 1} + x = x + 4$ .

$24 - 10 \sqrt{x - 1} + x = x + 4$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $- 10 \sqrt{x - 1}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $24$ de ambos lados de la ecuación.

$- 10 \sqrt{x - 1} + x = x + 4 - 24$

Paso 4.2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 10 \sqrt{x - 1} = x + 4 - 24 - x$

Paso 4.2.3

Combina los términos opuestos en $x + 4 - 24 - x$ .

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Paso 4.2.3.1

Resta $x$ de $x$ .

$- 10 \sqrt{x - 1} = 0 + 4 - 24$

Paso 4.2.3.2

Suma $0$ y $4$ .

$- 10 \sqrt{x - 1} = 4 - 24$

Paso 4.2.4

Resta $24$ de $4$ .

$- 10 \sqrt{x - 1} = - 20$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 10 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(- 20)}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 10 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 20)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(- 10 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 10 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 10)}^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 20)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$100 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 20)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 20)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$100 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 20)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$100 {(x - 1)}^{1} = {(- 20)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$100 (x - 1) = {(- 20)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$100 x + 100 \cdot - 1 = {(- 20)}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $100$ por $- 1$ .

$100 x - 100 = {(- 20)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Eleva $- 20$ a la potencia de $2$ .

$100 x - 100 = 400$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Suma $100$ a ambos lados de la ecuación.

$100 x = 400 + 100$

Paso 7.1.2

Suma $400$ y $100$ .

$100 x = 500$

Paso 7.2

Divide cada término en $100 x = 500$ por $100$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $100 x = 500$ por $100$ .

$\frac{100 x}{100} = \frac{500}{100}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $100$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{100 x}{100} = \frac{500}{100}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{500}{100}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Divide $500$ por $100$ .

$x = 5$