Precálculo Ejemplos

$f (t) = 330 {(1.04)}^{30 t}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = t + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $t$ con $t + h$ en la expresión.

$f (t + h) = 330 {(1.04)}^{30 (t + h)}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$ .

$330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

$f (t) = 330 \cdot {1.04}^{30 t}$

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

$f (t) = 330 \cdot {1.04}^{30 t}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - (330 \cdot {1.04}^{30 t})}{h}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $330$ .

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}}{h}$

Paso 4.2

Reescribe $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.1

Factoriza $330$ de $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $330$ de $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$ .

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}}{h}$

Paso 4.2.1.2

Factoriza $330$ de $- 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ .

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} + 330 (- {1.04}^{30 t})}{h}$

Paso 4.2.1.3

Factoriza $330$ de $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} + 330 (- {1.04}^{30 t})$ .

$\frac{330 ({1.04}^{30 t + 30 h} - {1.04}^{30 t})}{h}$

Paso 4.2.2

Reescribe ${1.04}^{30 t + 30 h}$ como ${({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3}$ .

$\frac{330 ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3} - {1.04}^{30 t})}{h}$

Paso 4.2.3

Reescribe ${1.04}^{30 t}$ como ${({1.04}^{10 t})}^{3}$ .

$\frac{330 ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3} - {({1.04}^{10 t})}^{3})}{h}$

Paso 4.2.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = {1.04}^{10 t + 10 h}$ y $b = {1.04}^{10 t}$ .

$\frac{330 (({1.04}^{10 t + 10 h} - {1.04}^{10 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5

Simplifica.

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Paso 4.2.5.1

Reescribe ${1.04}^{10 t + 10 h}$ como ${({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2}$ .

$\frac{330 (({({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2} - {1.04}^{10 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.2

Reescribe ${1.04}^{10 t}$ como ${({1.04}^{5 t})}^{2}$ .

$\frac{330 (({({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2} - {({1.04}^{5 t})}^{2}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = {1.04}^{5 t + 5 h}$ y $b = {1.04}^{5 t}$ .

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.4

Multiplica ${1.04}^{10 t + 10 h}$ por ${1.04}^{10 t}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.5.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h + 10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.4.2

Suma $10 t$ y $10 t$ .

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Multiplica los exponentes en ${({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{(10 t + 10 h) \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Paso 4.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{10 t \cdot 2 + 10 h \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 10 h \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Paso 4.3.2

Multiplica los exponentes en ${({1.04}^{10 t})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{10 t \cdot 2})}{h}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{20 t})}{h}$

Paso 5