Precálculo Ejemplos

$f (x) = e^{x - 3} + 2$ , $[3, 6]$

Paso 1

Escribe $f (x) = e^{x - 3} + 2$ como una ecuación.

$y = e^{x - 3} + 2$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (6) - f (3)}{(6) - (3)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = e^{x - 3} + 2$ por $f (6)$ y $f (3)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(e^{(6) - 3} + 2) - (e^{(3) - 3} + 2)}{(6) - (3)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Resta $3$ de $6$ .

$\frac{e^{3} + 2 - (e^{3 - 3} + 2)}{6 - (3)}$

Paso 3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{e^{3} + 2 - (e^{0} + 2)}{6 - (3)}$

Paso 3.1.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{e^{3} + 2 - (1 + 2)}{6 - (3)}$

Paso 3.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{e^{3} + 2 - 1 \cdot 3}{6 - (3)}$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{e^{3} + 2 - 3}{6 - (3)}$

Paso 3.1.5

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{e^{3} - 1}{6 - (3)}$

Paso 3.1.6

Reescribe $e^{3} - 1$ en forma factorizada.

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Paso 3.1.6.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{e^{3} - 1^{3}}{6 - (3)}$

Paso 3.1.6.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = e$ y $b = 1$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e \cdot 1 + 1^{2})}{6 - (3)}$

Paso 3.1.6.3

Simplifica.

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Paso 3.1.6.3.1

Multiplica $e$ por $1$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1^{2})}{6 - (3)}$

Paso 3.1.6.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{6 - (3)}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{6 - 3}$

Paso 3.2.2

Resta $3$ de $6$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{3}$