Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.1.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2.1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.1.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Paso 2.1.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} h$

Paso 2.1.2.1.7

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{4} h$

Paso 2.1.2.1.8

Combina $\frac{1}{4}$ y $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $\frac{x}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

Paso 2.2.2

Mueve $\frac{x^{2}}{2}$ .

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

Paso 2.2.3

Reordena $h x$ y $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.2

Reordena los factores de $h x$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + x h + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.3

Para escribir $x h$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + x h \cdot \frac{4}{4} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina $x h$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x h \cdot 4}{4} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.6

Para escribir $\frac{h^{2}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.7.1

Multiplica $\frac{h^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2}{4} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.9

Para escribir $\frac{x^{2}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.10

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.10.1

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{4} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.13

Para escribir $- \frac{x^{2}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.14

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.14.1

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.14.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{4} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2}{4} - \frac{x}{4}}{h}$

Paso 4.1.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2 - x}{4}}{h}$

Paso 4.1.17

Reescribe $\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2 - x}{4}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.17.1

Resta $x^{2} \cdot 2$ de $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x + 0 - x}{4}}{h}$

Paso 4.1.17.2

Suma $h^{2} \cdot 2$ y $0$ .

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x}{4}}{h}$

Paso 4.1.17.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + 0}{4}}{h}$

Paso 4.1.17.4

Suma $h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h$ y $0$ .

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4}}{h}$

Paso 4.1.17.5

Factoriza $h$ de $h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h$ .

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Paso 4.1.17.5.1

Factoriza $h$ de $h^{2} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + x (h) \cdot 4 + h}{4}}{h}$

Paso 4.1.17.5.2

Factoriza $h$ de $x h \cdot 4$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h}{4}}{h}$

Paso 4.1.17.5.3

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h^{1}}{4}}{h}$

Paso 4.1.17.5.4

Factoriza $h$ de $h^{1}$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h \cdot 1}{4}}{h}$

Paso 4.1.17.5.5

Factoriza $h$ de $h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4)$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2 + x \cdot 4) + h \cdot 1}{4}}{h}$

Paso 4.1.17.5.6

Factoriza $h$ de $h (h \cdot 2 + x \cdot 4) + h \cdot 1$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2 + x \cdot 4 + 1)}{4}}{h}$

Paso 4.1.17.6

Mueve $2$ a la izquierda de $h$ .

$\frac{\frac{h (2 \cdot h + x \cdot 4 + 1)}{4}}{h}$

Paso 4.1.17.7

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 h + 4 x + 1}{4}$

Paso 5