Precálculo Ejemplos

Hallar el ratio de cambio medio f(x)=1/2x^2+1/4x
f(x)=12x2+14x
Paso 1
Considera la fórmula del cociente diferencial.
f(x+h)-f(x)h
Paso 2
Obtén los componentes de la definición.
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Paso 2.1
Evalúa la función en x=x+h.
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Paso 2.1.1
Reemplaza la variable x con x+h en la expresión.
f(x+h)=12(x+h)2+14(x+h)
Paso 2.1.2
Simplifica el resultado.
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Paso 2.1.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 2.1.2.1.1
Reescribe (x+h)2 como (x+h)(x+h).
f(x+h)=12((x+h)(x+h))+14(x+h)
Paso 2.1.2.1.2
Expande (x+h)(x+h) con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
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Paso 2.1.2.1.2.1
Aplica la propiedad distributiva.
f(x+h)=12(x(x+h)+h(x+h))+14(x+h)
Paso 2.1.2.1.2.2
Aplica la propiedad distributiva.
f(x+h)=12(xx+xh+h(x+h))+14(x+h)
Paso 2.1.2.1.2.3
Aplica la propiedad distributiva.
f(x+h)=12(xx+xh+hx+hh)+14(x+h)
f(x+h)=12(xx+xh+hx+hh)+14(x+h)
Paso 2.1.2.1.3
Simplifica y combina los términos similares.
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Paso 2.1.2.1.3.1
Simplifica cada término.
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Paso 2.1.2.1.3.1.1
Multiplica x por x.
f(x+h)=12(x2+xh+hx+hh)+14(x+h)
Paso 2.1.2.1.3.1.2
Multiplica h por h.
f(x+h)=12(x2+xh+hx+h2)+14(x+h)
f(x+h)=12(x2+xh+hx+h2)+14(x+h)
Paso 2.1.2.1.3.2
Suma xh y hx.
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Paso 2.1.2.1.3.2.1
Reordena x y h.
f(x+h)=12(x2+hx+hx+h2)+14(x+h)
Paso 2.1.2.1.3.2.2
Suma hx y hx.
f(x+h)=12(x2+2hx+h2)+14(x+h)
f(x+h)=12(x2+2hx+h2)+14(x+h)
f(x+h)=12(x2+2hx+h2)+14(x+h)
Paso 2.1.2.1.4
Aplica la propiedad distributiva.
f(x+h)=12x2+12(2hx)+12h2+14(x+h)
Paso 2.1.2.1.5
Simplifica.
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Paso 2.1.2.1.5.1
Combina 12 y x2.
f(x+h)=x22+12(2hx)+12h2+14(x+h)
Paso 2.1.2.1.5.2
Cancela el factor común de 2.
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Paso 2.1.2.1.5.2.1
Factoriza 2 de 2hx.
f(x+h)=x22+12(2(hx))+12h2+14(x+h)
Paso 2.1.2.1.5.2.2
Cancela el factor común.
f(x+h)=x22+12(2(hx))+12h2+14(x+h)
Paso 2.1.2.1.5.2.3
Reescribe la expresión.
f(x+h)=x22+hx+12h2+14(x+h)
f(x+h)=x22+hx+12h2+14(x+h)
Paso 2.1.2.1.5.3
Combina 12 y h2.
f(x+h)=x22+hx+h22+14(x+h)
f(x+h)=x22+hx+h22+14(x+h)
Paso 2.1.2.1.6
Aplica la propiedad distributiva.
f(x+h)=x22+hx+h22+14x+14h
Paso 2.1.2.1.7
Combina 14 y x.
f(x+h)=x22+hx+h22+x4+14h
Paso 2.1.2.1.8
Combina 14 y h.
f(x+h)=x22+hx+h22+x4+h4
f(x+h)=x22+hx+h22+x4+h4
Paso 2.1.2.2
La respuesta final es x22+hx+h22+x4+h4.
x22+hx+h22+x4+h4
x22+hx+h22+x4+h4
x22+hx+h22+x4+h4
Paso 2.2
Reordena.
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Paso 2.2.1
Mueve x4.
x22+hx+h22+h4+x4
Paso 2.2.2
Mueve x22.
hx+h22+x22+h4+x4
Paso 2.2.3
Reordena hx y h22.
h22+hx+x22+h4+x4
h22+hx+x22+h4+x4
Paso 2.3
Obtén los componentes de la definición.
f(x+h)=h22+hx+x22+h4+x4
f(x)=x22+x4
f(x+h)=h22+hx+x22+h4+x4
f(x)=x22+x4
Paso 3
Inserta los componentes.
f(x+h)-f(x)h=h22+hx+x22+h4+x4-(x22+x4)h
Paso 4
Simplifica.
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Paso 4.1
Simplifica el numerador.
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Paso 4.1.1
Aplica la propiedad distributiva.
h22+hx+x22+h4+x4-x22-x4h
Paso 4.1.2
Reordena los factores de hx.
h22+xh+x22+h4+x4-x22-x4h
Paso 4.1.3
Para escribir xh como una fracción con un denominador común, multiplica por 44.
h22+x22+xh44+h4+x4-x22-x4h
Paso 4.1.4
Combina xh y 44.
h22+x22+xh44+h4+x4-x22-x4h
Paso 4.1.5
Combina los numeradores sobre el denominador común.
h22+x22+xh4+h4+x4-x22-x4h
Paso 4.1.6
Para escribir h22 como una fracción con un denominador común, multiplica por 22.
x22+h2222+xh4+h4+x4-x22-x4h
Paso 4.1.7
Escribe cada expresión con un denominador común de 4, mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de 1.
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Paso 4.1.7.1
Multiplica h22 por 22.
x22+h2222+xh4+h4+x4-x22-x4h
Paso 4.1.7.2
Multiplica 2 por 2.
x22+h224+xh4+h4+x4-x22-x4h
x22+h224+xh4+h4+x4-x22-x4h
Paso 4.1.8
Combina los numeradores sobre el denominador común.
x22+h22+xh4+h4+x4-x22-x4h
Paso 4.1.9
Para escribir x22 como una fracción con un denominador común, multiplica por 22.
x2222+h22+xh4+h4+x4-x22-x4h
Paso 4.1.10
Escribe cada expresión con un denominador común de 4, mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de 1.
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Paso 4.1.10.1
Multiplica x22 por 22.
x2222+h22+xh4+h4+x4-x22-x4h
Paso 4.1.10.2
Multiplica 2 por 2.
x224+h22+xh4+h4+x4-x22-x4h
x224+h22+xh4+h4+x4-x22-x4h
Paso 4.1.11
Combina los numeradores sobre el denominador común.
x22+h22+xh4+h4+x4-x22-x4h
Paso 4.1.12
Combina los numeradores sobre el denominador común.
x22+h22+xh4+h+x4-x22-x4h
Paso 4.1.13
Para escribir -x22 como una fracción con un denominador común, multiplica por 22.
x22+h22+xh4+h+x4-x2222-x4h
Paso 4.1.14
Escribe cada expresión con un denominador común de 4, mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de 1.
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Paso 4.1.14.1
Multiplica x22 por 22.
x22+h22+xh4+h+x4-x2222-x4h
Paso 4.1.14.2
Multiplica 2 por 2.
x22+h22+xh4+h+x4-x224-x4h
x22+h22+xh4+h+x4-x224-x4h
Paso 4.1.15
Combina los numeradores sobre el denominador común.
x22+h22+xh4+h+x-x224-x4h
Paso 4.1.16
Combina los numeradores sobre el denominador común.
x22+h22+xh4+h+x-x22-x4h
Paso 4.1.17
Reescribe x22+h22+xh4+h+x-x22-x4 en forma factorizada.
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Paso 4.1.17.1
Resta x22 de x22.
h22+xh4+h+x+0-x4h
Paso 4.1.17.2
Suma h22 y 0.
h22+xh4+h+x-x4h
Paso 4.1.17.3
Resta x de x.
h22+xh4+h+04h
Paso 4.1.17.4
Suma h22+xh4+h y 0.
h22+xh4+h4h
Paso 4.1.17.5
Factoriza h de h22+xh4+h.
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Paso 4.1.17.5.1
Factoriza h de h22.
h(h2)+x(h)4+h4h
Paso 4.1.17.5.2
Factoriza h de xh4.
h(h2)+h(x4)+h4h
Paso 4.1.17.5.3
Eleva h a la potencia de 1.
h(h2)+h(x4)+h14h
Paso 4.1.17.5.4
Factoriza h de h1.
h(h2)+h(x4)+h14h
Paso 4.1.17.5.5
Factoriza h de h(h2)+h(x4).
h(h2+x4)+h14h
Paso 4.1.17.5.6
Factoriza h de h(h2+x4)+h1.
h(h2+x4+1)4h
h(h2+x4+1)4h
Paso 4.1.17.6
Mueve 2 a la izquierda de h.
h(2h+x4+1)4h
Paso 4.1.17.7
Mueve 4 a la izquierda de x.
h(2h+4x+1)4h
h(2h+4x+1)4h
h(2h+4x+1)4h
Paso 4.2
Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.
h(2h+4x+1)41h
Paso 4.3
Cancela el factor común de h.
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Paso 4.3.1
Cancela el factor común.
h(2h+4x+1)41h
Paso 4.3.2
Reescribe la expresión.
2h+4x+14
2h+4x+14
2h+4x+14
Paso 5
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f(x)=12x2+14x
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