Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ , $[2, 4]$

Paso 1

Escribe $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ como una ecuación.

$y = x^{2} - \frac{1}{x}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (4) - f (2)}{(4) - (2)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = x^{2} - \frac{1}{x}$ por $f (4)$ y $f (2)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{({(4)}^{2} - \frac{1}{4}) - ({(2)}^{2} - \frac{1}{2})}{(4) - (2)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $4$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{4 (4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 (4 - (2))}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (- \frac{1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Multiplica $4$ por $4^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1.1

Multiplica $4$ por $4^{2}$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4^{1} \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4^{1 + 2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4^{3} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.4

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.5

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{4 \cdot 2 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.7.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{8 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.7.2

Resta $1$ de $8$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{2}$ al numerador.

$\frac{64 - 1 + 4 (\frac{- 7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.8.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{64 - 1 + 2 (2) \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.8.3

Cancela el factor común.

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot 2 \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.8.4

Reescribe la expresión.

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot - 7}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.9

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$\frac{64 - 1 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.10

Resta $1$ de $64$ .

$\frac{63 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.4.11

Resta $14$ de $63$ .

$\frac{49}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{49}{16 + 4 (- (2))}$

Paso 3.5.2

Multiplica $4 (- (2))$ .

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{49}{16 + 4 \cdot - 2}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{49}{16 - 8}$

Paso 3.5.3

Resta $8$ de $16$ .

$\frac{49}{8}$