Precálculo Ejemplos

2 x^{2} + x + 5

$2 x^{2} + x + 5$

Paso 1

Escribe

2 x^{2} + x + 5

$2 x^{2} + x + 5$ como una función.

f (x) = 2 x^{2} + x + 5

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

Paso 2

Considera la fórmula del cociente diferencial.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 3

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 3.1

Evalúa la función en

x = x + h

$x = x + h$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable

x

$x$ con

x + h

$x + h$ en la expresión.

f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 5

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 5$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Elimina los paréntesis.

f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 5

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.2.1

Reescribe

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ como

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ .

f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) + x + h + 5

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.2

Expande

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h + 5

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h + 5

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 5

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 5$

f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 5

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.2.3.1.1

Multiplica

x

$x$ por

x

$x$ .

f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 5

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.3.1.2

Multiplica

h

$h$ por

h

$h$ .

f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 5

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 5$

f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 5

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.3.2

Suma

x h

$x h$ y

h x

$h x$ .

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Paso 3.1.2.2.3.2.1

Reordena

x

$x$ y

h

$h$ .

f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h + 5

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.3.2.2

Suma

h x

$h x$ y

h x

$h x$ .

f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 5

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 5$

f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 5

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 5$

f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 5

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + x + h + 5

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.5

Multiplica

2

$2$ por

2

$2$ .

f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$

f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es

2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$ .

2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$

2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$

2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$

Paso 3.2

Reordena.

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Paso 3.2.1

Mueve

x

$x$ .

2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + h + x + 5

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + h + x + 5$

Paso 3.2.2

Mueve

2 x^{2}

$2 x^{2}$ .

4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} + h + x + 5

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} + h + x + 5$

Paso 3.2.3

Reordena

4 h x

$4 h x$ y

2 h^{2}

$2 h^{2}$ .

2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

Paso 3.3

Obtén los componentes de la definición.

f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

f (x) = 2 x^{2} + x + 5

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

f (x) = 2 x^{2} + x + 5

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

Paso 4

Inserta los componentes.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - (2 x^{2} + x + 5)}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - (2 x^{2} + x + 5)}{h}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - (2 x^{2}) - x - 1 \cdot 5}{h}

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - (2 x^{2}) - x - 1 \cdot 5}{h}$

Paso 5.1.2

Simplifica.

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Paso 5.1.2.1

Multiplica

2

$2$ por

- 1

$- 1$ .

\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - 2 x^{2} - x - 1 \cdot 5}{h}

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - 2 x^{2} - x - 1 \cdot 5}{h}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

5

$5$ .

\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - 2 x^{2} - x - 5}{h}

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - 2 x^{2} - x - 5}{h}$

\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - 2 x^{2} - x - 5}{h}

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - 2 x^{2} - x - 5}{h}$

Paso 5.1.3

Resta

2 x^{2}

$2 x^{2}$ de

2 x^{2}

$2 x^{2}$ .

\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + x + 5 + 0 - x - 5}{h}

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + x + 5 + 0 - x - 5}{h}$

Paso 5.1.4

Suma

2 h^{2}

$2 h^{2}$ y

0

$0$ .

\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + x + 5 - x - 5}{h}

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + x + 5 - x - 5}{h}$

Paso 5.1.5

Resta

x

$x$ de

x

$x$ .

\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 0 + 5 - 5}{h}

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 0 + 5 - 5}{h}$

Paso 5.1.6

Suma

2 h^{2}

$2 h^{2}$ y

0

$0$ .

\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 5 - 5}{h}

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 5 - 5}{h}$

Paso 5.1.7

Resta

5

$5$ de

5

$5$ .

\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 0}{h}

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 0}{h}$

Paso 5.1.8

Suma

2 h^{2} + 4 h x + h

$2 h^{2} + 4 h x + h$ y

0

$0$ .

\frac{2 h^{2} + 4 h x + h}{h}

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Paso 5.1.9

Factoriza

h

$h$ de

2 h^{2} + 4 h x + h

$2 h^{2} + 4 h x + h$ .

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Paso 5.1.9.1

Factoriza

h

$h$ de

2 h^{2}

$2 h^{2}$ .

\frac{h (2 h) + 4 h x + h}{h}

$\frac{h (2 h) + 4 h x + h}{h}$

Paso 5.1.9.2

Factoriza

h

$h$ de

4 h x

$4 h x$ .

\frac{h (2 h) + h (4 x) + h}{h}

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

Paso 5.1.9.3

Eleva

h

$h$ a la potencia de

1

$1$ .

\frac{h (2 h) + h (4 x) + h^{1}}{h}

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h^{1}}{h}$

Paso 5.1.9.4

Factoriza

h

$h$ de

h^{1}

$h^{1}$ .

\frac{h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Paso 5.1.9.5

Factoriza

h

$h$ de

h (2 h) + h (4 x)

$h (2 h) + h (4 x)$ .

\frac{h (2 h + 4 x) + h \cdot 1}{h}

$\frac{h (2 h + 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Paso 5.1.9.6

Factoriza

h

$h$ de

h (2 h + 4 x) + h \cdot 1

$h (2 h + 4 x) + h \cdot 1$ .

\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}$

\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}$

\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}$

Paso 5.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de

h

$h$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}$

Paso 5.2.1.2

Divide

2 h + 4 x + 1

$2 h + 4 x + 1$ por

1

$1$ .

2 h + 4 x + 1

$2 h + 4 x + 1$

2 h + 4 x + 1

$2 h + 4 x + 1$

Paso 5.2.2

Reordena

2 h

$2 h$ y

4 x

$4 x$ .

4 x + 2 h + 1

$4 x + 2 h + 1$

4 x + 2 h + 1

$4 x + 2 h + 1$

4 x + 2 h + 1

$4 x + 2 h + 1$

Paso 6