Precálculo Ejemplos

$2 x^{2} + x + 5$

Paso 1

Escribe $2 x^{2} + x + 5$ como una función.

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

Paso 2

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 3

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 3.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 5$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.2.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 3.1.2.2.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + x + h + 5$

Paso 3.1.2.2.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$

Paso 3.2

Reordena.

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Paso 3.2.1

Mueve $x$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + h + x + 5$

Paso 3.2.2

Mueve $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} + h + x + 5$

Paso 3.2.3

Reordena $4 h x$ y $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

Paso 3.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

Paso 4

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - (2 x^{2} + x + 5)}{h}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - (2 x^{2}) - x - 1 \cdot 5}{h}$

Paso 5.1.2

Simplifica.

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - 2 x^{2} - x - 1 \cdot 5}{h}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - 2 x^{2} - x - 5}{h}$

Paso 5.1.3

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + x + 5 + 0 - x - 5}{h}$

Paso 5.1.4

Suma $2 h^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + x + 5 - x - 5}{h}$

Paso 5.1.5

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 0 + 5 - 5}{h}$

Paso 5.1.6

Suma $2 h^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 5 - 5}{h}$

Paso 5.1.7

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 0}{h}$

Paso 5.1.8

Suma $2 h^{2} + 4 h x + h$ y $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Paso 5.1.9

Factoriza $h$ de $2 h^{2} + 4 h x + h$ .

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Paso 5.1.9.1

Factoriza $h$ de $2 h^{2}$ .

$\frac{h (2 h) + 4 h x + h}{h}$

Paso 5.1.9.2

Factoriza $h$ de $4 h x$ .

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

Paso 5.1.9.3

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h^{1}}{h}$

Paso 5.1.9.4

Factoriza $h$ de $h^{1}$ .

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Paso 5.1.9.5

Factoriza $h$ de $h (2 h) + h (4 x)$ .

$\frac{h (2 h + 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Paso 5.1.9.6

Factoriza $h$ de $h (2 h + 4 x) + h \cdot 1$ .

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}$

Paso 5.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}$

Paso 5.2.1.2

Divide $2 h + 4 x + 1$ por $1$ .

$2 h + 4 x + 1$

Paso 5.2.2

Reordena $2 h$ y $4 x$ .

$4 x + 2 h + 1$

Paso 6