Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 9$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2} + 9$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h)) + 9$

Paso 2.1.2.1.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) + 9$

Paso 2.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 9$

Paso 2.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 9$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 9$

Paso 2.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 9$

Paso 2.1.2.1.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.1.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 9$

Paso 2.1.2.1.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 9$

Paso 2.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + 9$

Paso 2.1.2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + 9$

Paso 2.1.2.1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.1.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + 9$

Paso 2.1.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + 9$

Paso 2.1.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2} + 9$

Paso 2.1.2.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 9$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 9$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 9$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $\frac{x^{2}}{2}$ .

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + 9$

Paso 2.2.2

Reordena $h x$ y $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 9$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 9$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 9$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 9$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 9$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 9 - (\frac{x^{2}}{2} + 9)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 9 - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot 9}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 9 - \frac{x^{2}}{2} - 9}{h}$

Paso 4.1.3

Resta $\frac{x^{2}}{2}$ de $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 0 + 9 - 9}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $\frac{h^{2}}{2}$ y $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 9 - 9}{h}$

Paso 4.1.5

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 0}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $\frac{h^{2}}{2} + h x$ y $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x}{h}$

Paso 4.1.7

Factoriza $h$ de $\frac{h^{2}}{2} + h x$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $h$ de $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h \frac{h}{2} + h x}{h}$

Paso 4.1.7.2

Factoriza $h$ de $h x$ .

$\frac{h (\frac{h}{2}) + h (x)}{h}$

Paso 4.1.7.3

Factoriza $h$ de $h (\frac{h}{2}) + h (x)$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x)}{h}$

Paso 4.1.8

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x \cdot \frac{2}{2})}{h}$

Paso 4.1.9

Combina $x$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + \frac{x \cdot 2}{2})}{h}$

Paso 4.1.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{h \frac{h + x \cdot 2}{2}}{h}$

Paso 4.1.11

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{h \frac{h + 2 x}{2}}{h}$

Paso 4.2

Combina $h$ y $\frac{h + 2 x}{2}$ .

$\frac{\frac{h (h + 2 x)}{2}}{h}$

Paso 4.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{h + 2 x}{2}$

Paso 5