Precálculo Ejemplos

$A = π r^{2}$

Paso 1

Escribe $A = π r^{2}$ como una función.

$f (r) = π r^{2}$

Paso 2

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Paso 3

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 3.1

Evalúa la función en $x = r + h$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $r$ con $r + h$ en la expresión.

$f (r + h) = π {(r + h)}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Reescribe ${(r + h)}^{2}$ como $(r + h) (r + h)$ .

$f (r + h) = π ((r + h) (r + h))$

Paso 3.1.2.2

Expande $(r + h) (r + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (r + h) = π (r (r + h) + h (r + h))$

Paso 3.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (r + h) = π (r \cdot r + r h + h (r + h))$

Paso 3.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (r + h) = π (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h)$

Paso 3.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.3.1.1

Multiplica $r$ por $r$ .

$f (r + h) = π (r^{2} + r h + h r + h \cdot h)$

Paso 3.1.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (r + h) = π (r^{2} + r h + h r + h^{2})$

Paso 3.1.2.3.2

Suma $r h$ y $h r$ .

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Paso 3.1.2.3.2.1

Reordena $r$ y $h$ .

$f (r + h) = π (r^{2} + h r + h r + h^{2})$

Paso 3.1.2.3.2.2

Suma $h r$ y $h r$ .

$f (r + h) = π (r^{2} + 2 h r + h^{2})$

Paso 3.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (r + h) = π r^{2} + π (2 h r) + π h^{2}$

Paso 3.1.2.5

Elimina los paréntesis.

$f (r + h) = π r^{2} + π \cdot (2 h r) + π h^{2}$

Paso 3.1.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$f (r + h) = π r^{2} + 2 π h r + π h^{2}$

Paso 3.1.2.7

La respuesta final es $π r^{2} + 2 π h r + π h^{2}$ .

$π r^{2} + 2 π h r + π h^{2}$

Paso 3.2

Reordena.

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Paso 3.2.1

Mueve $π r^{2}$ .

$2 π h r + π h^{2} + π r^{2}$

Paso 3.2.2

Reordena $2 π h r$ y $π h^{2}$ .

$π h^{2} + 2 π h r + π r^{2}$

Paso 3.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (r + h) = π h^{2} + 2 π h r + π r^{2}$

$f (r) = π r^{2}$

$f (r + h) = π h^{2} + 2 π h r + π r^{2}$

$f (r) = π r^{2}$

Paso 4

Inserta los componentes.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{π h^{2} + 2 π h r + π r^{2} - (π r^{2})}{h}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Resta $π r^{2}$ de $π r^{2}$ .

$\frac{π h^{2} + 2 π h r + 0}{h}$

Paso 5.1.2

Suma $π h^{2} + 2 π h r$ y $0$ .

$\frac{π h^{2} + 2 π h r}{h}$

Paso 5.1.3

Factoriza $π h$ de $π h^{2} + 2 π h r$ .

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Paso 5.1.3.1

Factoriza $π h$ de $π h^{2}$ .

$\frac{π h \cdot h + 2 π h r}{h}$

Paso 5.1.3.2

Factoriza $π h$ de $2 π h r$ .

$\frac{π h \cdot h + π h (2 r)}{h}$

Paso 5.1.3.3

Factoriza $π h$ de $π h \cdot h + π h (2 r)$ .

$\frac{π h (h + 2 r)}{h}$

Paso 5.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π h (h + 2 r)}{h}$

Paso 5.2.1.2

Divide $π (h + 2 r)$ por $1$ .

$π (h + 2 r)$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$π h + π (2 r)$

Paso 5.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$π h + 2 π r$

Paso 5.2.4

Reordena $π h$ y $2 π r$ .

$2 π r + π h$

Paso 6