Precálculo Ejemplos

$y = 5 x^{4} - 4 x^{3} + 25 x + 8000$

Paso 1

Escribe $y = 5 x^{4} - 4 x^{3} + 25 x + 8000$ como una función.

$f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{3} + 25 x + 8000$

Paso 2

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 3

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 3.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = 5 (x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}) - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Paso 3.1.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 5 x^{4} + 5 (4 x^{3} h) + 5 (6 x^{2} h^{2}) + 5 (4 x h^{3}) + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Paso 3.1.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1.3.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 (x^{3} h) + 5 (6 x^{2} h^{2}) + 5 (4 x h^{3}) + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Paso 3.1.2.1.3.2

Multiplica $6$ por $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 (x^{3} h) + 30 (x^{2} h^{2}) + 5 (4 x h^{3}) + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Paso 3.1.2.1.3.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 (x^{3} h) + 30 (x^{2} h^{2}) + 20 (x h^{3}) + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Paso 3.1.2.1.4

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Paso 3.1.2.1.5

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 25 (x + h) + 8000$

Paso 3.1.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 4 (3 x^{2} h) - 4 (3 x h^{2}) - 4 h^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Paso 3.1.2.1.7

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1.7.1

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 (x^{2} h) - 4 (3 x h^{2}) - 4 h^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Paso 3.1.2.1.7.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 (x^{2} h) - 12 (x h^{2}) - 4 h^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Paso 3.1.2.1.8

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 (x + h) + 8000$

Paso 3.1.2.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

Paso 3.1.2.2

La respuesta final es $5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

Paso 3.2

Reordena.

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Paso 3.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

Paso 3.2.2

Mueve $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

Paso 3.2.3

Mueve $x$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

Paso 3.2.4

Mueve $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 h x^{2} - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

Paso 3.2.5

Mueve $x$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 h x^{2} - 12 h^{2} x - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

Paso 3.2.6

Mueve $25 x$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 h x^{2} - 12 h^{2} x - 4 h^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Paso 3.2.7

Mueve $- 4 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 12 h x^{2} - 12 h^{2} x - 4 h^{3} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Paso 3.2.8

Mueve $- 12 h x^{2}$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 12 h^{2} x - 4 h^{3} - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Paso 3.2.9

Mueve $- 12 h^{2} x$ .

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Paso 3.2.10

Mueve $5 x^{4}$ .

$20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Paso 3.2.11

Mueve $20 h x^{3}$ .

$30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Paso 3.2.12

Mueve $30 h^{2} x^{2}$ .

$20 h^{3} x + 5 h^{4} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Paso 3.2.13

Reordena $20 h^{3} x$ y $5 h^{4}$ .

$5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

Paso 3.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

$f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{3} + 25 x + 8000$

$f (x + h) = 5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

$f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{3} + 25 x + 8000$

Paso 4

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - (5 x^{4} - 4 x^{3} + 25 x + 8000)}{h}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - (5 x^{4}) - (- 4 x^{3}) - (25 x) - 1 \cdot 8000}{h}$

Paso 5.1.2

Simplifica.

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - 5 x^{4} - (- 4 x^{3}) - (25 x) - 1 \cdot 8000}{h}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - 5 x^{4} + 4 x^{3} - (25 x) - 1 \cdot 8000}{h}$

Paso 5.1.2.3

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - 5 x^{4} + 4 x^{3} - 25 x - 1 \cdot 8000}{h}$

Paso 5.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $8000$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - 5 x^{4} + 4 x^{3} - 25 x - 8000}{h}$

Paso 5.1.3

Resta $5 x^{4}$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 + 0 + 4 x^{3} - 25 x - 8000}{h}$

Paso 5.1.4

Suma $5 h^{4}$ y $0$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 + 4 x^{3} - 25 x - 8000}{h}$

Paso 5.1.5

Suma $- 4 x^{3}$ y $4 x^{3}$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 25 x + 8000 + 0 - 25 x - 8000}{h}$

Paso 5.1.6

Suma $5 h^{4}$ y $0$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 25 x + 8000 - 25 x - 8000}{h}$

Paso 5.1.7

Resta $25 x$ de $25 x$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 0 + 8000 - 8000}{h}$

Paso 5.1.8

Suma $5 h^{4}$ y $0$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 8000 - 8000}{h}$

Paso 5.1.9

Resta $8000$ de $8000$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 0}{h}$

Paso 5.1.10

Suma $5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h$ y $0$ .

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

Paso 5.1.11

Factoriza $h$ de $5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h$ .

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Paso 5.1.11.1

Factoriza $h$ de $5 h^{4}$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

Paso 5.1.11.2

Factoriza $h$ de $20 h^{3} x$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

Paso 5.1.11.3

Factoriza $h$ de $30 h^{2} x^{2}$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

Paso 5.1.11.4

Factoriza $h$ de $20 h x^{3}$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

Paso 5.1.11.5

Factoriza $h$ de $- 4 h^{3}$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

Paso 5.1.11.6

Factoriza $h$ de $- 12 h^{2} x$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

Paso 5.1.11.7

Factoriza $h$ de $- 12 h x^{2}$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + 25 h}{h}$

Paso 5.1.11.8

Factoriza $h$ de $25 h$ .

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

Paso 5.1.11.9

Factoriza $h$ de $h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x)$ .

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

Paso 5.1.11.10

Factoriza $h$ de $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x) + h (30 h x^{2})$ .

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

Paso 5.1.11.11

Factoriza $h$ de $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2}) + h (20 x^{3})$ .

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

Paso 5.1.11.12

Factoriza $h$ de $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3}) + h (- 4 h^{2})$ .

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

Paso 5.1.11.13

Factoriza $h$ de $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2}) + h (- 12 h x)$ .

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

Paso 5.1.11.14

Factoriza $h$ de $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x) + h (- 12 x^{2})$ .

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

Paso 5.1.11.15

Factoriza $h$ de $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2}) + h \cdot 25$ .

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25)}{h}$

Paso 5.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25)}{h}$

Paso 5.2.1.2

Divide $5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25$ por $1$ .

$5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25$

Paso 5.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.2.1

Mueve $h^{2}$ .

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25$

Paso 5.2.2.2

Mueve $h$ .

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25$

Paso 5.2.2.3

Mueve $h$ .

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 x h - 12 x^{2} + 25$

Paso 5.2.2.4

Mueve $- 4 h^{2}$ .

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} - 12 x h - 12 x^{2} - 4 h^{2} + 25$

Paso 5.2.2.5

Mueve $- 12 x h$ .

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x h - 4 h^{2} + 25$

Paso 5.2.2.6

Mueve $5 h^{3}$ .

$20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} + 5 h^{3} - 12 x^{2} - 12 x h - 4 h^{2} + 25$

Paso 5.2.2.7

Mueve $20 x h^{2}$ .

$30 x^{2} h + 20 x^{3} + 20 x h^{2} + 5 h^{3} - 12 x^{2} - 12 x h - 4 h^{2} + 25$

Paso 5.2.2.8

Reordena $30 x^{2} h$ y $20 x^{3}$ .

$20 x^{3} + 30 x^{2} h + 20 x h^{2} + 5 h^{3} - 12 x^{2} - 12 x h - 4 h^{2} + 25$

Paso 6