Precálculo Ejemplos

$f (x) = x + x^{4}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = (x + h) + {(x + h)}^{4}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = x + h + x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $x + h + x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$ .

$x + h + x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$x + h + x^{4} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Paso 2.2.2

Mueve $x^{2}$ .

$x + h + x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Paso 2.2.3

Mueve $x$ .

$x + h + x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4}$

Paso 2.2.4

Mueve $x$ .

$h + x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x$

Paso 2.2.5

Mueve $h$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + h + x$

Paso 2.2.6

Mueve $x^{4}$ .

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4} + h + x$

Paso 2.2.7

Mueve $4 h x^{3}$ .

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

Paso 2.2.8

Mueve $6 h^{2} x^{2}$ .

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

Paso 2.2.9

Reordena $4 h^{3} x$ y $h^{4}$ .

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

$f (x) = x + x^{4}$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

$f (x) = x + x^{4}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x - (x + x^{4})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x - x - x^{4}}{h}$

Paso 4.1.2

Resta $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h + x - x + 0}{h}$

Paso 4.1.3

Suma $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h + x - x$ y $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h + x - x}{h}$

Paso 4.1.4

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h + 0}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h$ y $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h}{h}$

Paso 4.1.6

Factoriza $h$ de $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h$ .

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $h$ de $h^{4}$ .

$\frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h}{h}$

Paso 4.1.6.2

Factoriza $h$ de $4 h^{3} x$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h}{h}$

Paso 4.1.6.3

Factoriza $h$ de $6 h^{2} x^{2}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3} + h}{h}$

Paso 4.1.6.4

Factoriza $h$ de $4 h x^{3}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h}{h}$

Paso 4.1.6.5

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h^{1}}{h}$

Paso 4.1.6.6

Factoriza $h$ de $h^{1}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h \cdot 1}{h}$

Paso 4.1.6.7

Factoriza $h$ de $h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h \cdot 1}{h}$

Paso 4.1.6.8

Factoriza $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h \cdot 1}{h}$

Paso 4.1.6.9

Factoriza $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h \cdot 1}{h}$

Paso 4.1.6.10

Factoriza $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h \cdot 1$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1$ por $1$ .

$h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Mueve $h^{2}$ .

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1$

Paso 4.2.2.2

Mueve $h$ .

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 1$

Paso 4.2.2.3

Mueve $h^{3}$ .

$4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3} + 1$

Paso 4.2.2.4

Mueve $4 x h^{2}$ .

$6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3} + 1$

Paso 4.2.2.5

Reordena $6 x^{2} h$ y $4 x^{3}$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3} + 1$

Paso 5