Precálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (x)$ , $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$

Paso 1

Escribe $f (x) = \cos (x)$ como una ecuación.

$y = \cos (x)$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (\frac{π}{3}) - f (- \frac{π}{3})}{(\frac{π}{3}) - (- \frac{π}{3})}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \cos (x)$ por $f (\frac{π}{3})$ y $f (- \frac{π}{3})$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(\cos (\frac{π}{3})) - (\cos (- \frac{π}{3}))}{(\frac{π}{3}) - (- \frac{π}{3})}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $3$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\cos (\frac{π}{3}) - \cos (- \frac{π}{3})}{\frac{π}{3} - - \frac{π}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{3}) - \cos (- \frac{π}{3})}{\frac{π}{3} - - \frac{π}{3}}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{3 (\cos (\frac{π}{3}) - \cos (- \frac{π}{3}))}{3 (\frac{π}{3} - - \frac{π}{3})}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cos (\frac{π}{3}) + 3 (- \cos (- \frac{π}{3}))}{3 \frac{π}{3} + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cos (\frac{π}{3}) + 3 (- \cos (- \frac{π}{3}))}{3 \frac{π}{3} + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cos (\frac{π}{3}) + 3 (- \cos (- \frac{π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Factoriza $3$ de $3 \cos (\frac{π}{3}) + 3 (- \cos (- \frac{π}{3}))$ .

$\frac{3 (\cos (\frac{π}{3}) - \cos (- \frac{π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Paso 3.4.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{1}{2} - \cos (- \frac{π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Paso 3.4.3

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{3 (\frac{1}{2} - \cos (\frac{5 π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Paso 3.4.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{3 (\frac{1}{2} - \cos (\frac{π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Paso 3.4.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Paso 3.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 \frac{1 - 1}{2}}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Paso 3.4.7

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{3 (\frac{0}{2})}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Paso 3.4.8

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{3 \cdot 0}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- - \frac{π}{3}$ .

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 \cdot 0}{π + 3 (1 \frac{π}{3})}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $1$ .

$\frac{3 \cdot 0}{π + 3 \frac{π}{3}}$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 0}{π + 3 \frac{π}{3}}$

Paso 3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 0}{π + π}$

Paso 3.5.3

Suma $π$ y $π$ .

$\frac{3 \cdot 0}{2 π}$

Paso 3.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.6.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{2 π}$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (0)}{2 π}$

Paso 3.6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (0)}{2 (π)}$

Paso 3.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 0}{2 π}$

Paso 3.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{π}$

Paso 3.6.3

Divide $0$ por $π$ .

$0$