Precálculo Ejemplos

$- 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Paso 1

Escribe $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ como una función.

$f (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Paso 2

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 3

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 3.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = - 2 {(x + h)}^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = - 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 4 {(x + h)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 2 (3 x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1.3.1

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.3.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 6 (x h^{2}) - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.4

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.5

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 ((x + h) (x + h))$

Paso 3.1.2.1.6

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.2.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x (x + h) + h (x + h))$

Paso 3.1.2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Paso 3.1.2.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 3.1.2.1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.2.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 3.1.2.1.7.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Paso 3.1.2.1.7.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 3.1.2.1.7.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Paso 3.1.2.1.7.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Paso 3.1.2.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2}$

Paso 3.1.2.1.9

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Paso 3.1.2.2

La respuesta final es $- 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Paso 3.2

Reordena.

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Paso 3.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Paso 3.2.2

Mueve $x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Paso 3.2.3

Mueve $4 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2}$

Paso 3.2.4

Mueve $8 h x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Paso 3.2.5

Mueve $- 2 x^{3}$ .

$- 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Paso 3.2.6

Mueve $- 6 h x^{2}$ .

$- 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Paso 3.2.7

Reordena $- 6 h^{2} x$ y $- 2 h^{3}$ .

$- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Paso 3.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

$f (x + h) = - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Paso 4

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (- 2 x^{3} + 4 x^{2})}{h}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (- 2 x^{3}) - (4 x^{2})}{h}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} + 2 x^{3} - (4 x^{2})}{h}$

Paso 5.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} + 2 x^{3} - 4 x^{2}}{h}$

Paso 5.1.4

Suma $- 2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} + 0 - 4 x^{2}}{h}$

Paso 5.1.5

Suma $- 2 h^{3}$ y $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 x^{2}}{h}$

Paso 5.1.6

Resta $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x + 0}{h}$

Paso 5.1.7

Suma $- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x$ y $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

Paso 5.1.8

Factoriza $2 h$ de $- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x$ .

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Paso 5.1.8.1

Factoriza $2 h$ de $- 2 h^{3}$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

Paso 5.1.8.2

Factoriza $2 h$ de $- 6 h^{2} x$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

Paso 5.1.8.3

Factoriza $2 h$ de $- 6 h x^{2}$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

Paso 5.1.8.4

Factoriza $2 h$ de $4 h^{2}$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 8 h x}{h}$

Paso 5.1.8.5

Factoriza $2 h$ de $8 h x$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

Paso 5.1.8.6

Factoriza $2 h$ de $2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x)$ .

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

Paso 5.1.8.7

Factoriza $2 h$ de $2 h (- h^{2} - 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2})$ .

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

Paso 5.1.8.8

Factoriza $2 h$ de $2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + 2 h (2 h)$ .

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

Paso 5.1.8.9

Factoriza $2 h$ de $2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h) + 2 h (4 x)$ .

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)}{h}$

Paso 5.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)}{h}$

Paso 5.2.1.2

Divide $2 (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)$ por $1$ .

$2 (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- h^{2}) + 2 (- 3 h x) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 h^{2} + 2 (- 3 h x) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

Paso 5.3.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- 2 h^{2} - 6 (h x) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- 2 h^{2} - 6 (h x) - 6 x^{2} + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

Paso 5.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 2 h^{2} - 6 (h x) - 6 x^{2} + 4 h + 2 (4 x)$

Paso 5.3.5

Multiplica $4$ por $2$ .

$- 2 h^{2} - 6 (h x) - 6 x^{2} + 4 h + 8 x$

Paso 5.4

Mueve $h$ .

$- 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2} + 4 h + 8 x$

Paso 5.5

Mueve $4 h$ .

$- 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2} + 8 x + 4 h$

Paso 5.6

Mueve $- 2 h^{2}$ .

$- 6 x h - 6 x^{2} - 2 h^{2} + 8 x + 4 h$

Paso 5.7

Reordena $- 6 x h$ y $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2} + 8 x + 4 h$

Paso 6