Precálculo Ejemplos

$f (x) = e^{x - 1} + 3$ , $[1, 5]$

Paso 1

Escribe $f (x) = e^{x - 1} + 3$ como una ecuación.

$y = e^{x - 1} + 3$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (5) - f (1)}{(5) - (1)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = e^{x - 1} + 3$ por $f (5)$ y $f (1)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(e^{(5) - 1} + 3) - (e^{(1) - 1} + 3)}{(5) - (1)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Resta $1$ de $5$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (e^{1 - 1} + 3)}{5 - (1)}$

Paso 3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (e^{0} + 3)}{5 - (1)}$

Paso 3.1.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (1 + 3)}{5 - (1)}$

Paso 3.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{e^{4} + 3 - 1 \cdot 4}{5 - (1)}$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{e^{4} + 3 - 4}{5 - (1)}$

Paso 3.1.5

Resta $4$ de $3$ .

$\frac{e^{4} - 1}{5 - (1)}$

Paso 3.1.6

Reescribe $e^{4} - 1$ en forma factorizada.

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Paso 3.1.6.1

Reescribe $e^{4}$ como ${(e^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{2} - 1}{5 - (1)}$

Paso 3.1.6.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{2} - 1^{2}}{5 - (1)}$

Paso 3.1.6.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e^{2}$ y $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{5 - (1)}$

Paso 3.1.6.4

Simplifica.

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Paso 3.1.6.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{5 - (1)}$

Paso 3.1.6.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e$ y $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{5 - (1)}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{5 - 1}$

Paso 3.2.2

Resta $1$ de $5$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{4}$