Precálculo Ejemplos

$2 x^{3}$

Paso 1

Escribe $2 x^{3}$ como una función.

$f (x) = 2 x^{3}$

Paso 2

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 3

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 3.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Paso 3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica.

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Paso 3.1.2.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Paso 3.1.2.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 6 (x h^{2}) + 2 h^{3}$

Paso 3.1.2.4

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Paso 3.1.2.5

La respuesta final es $2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$ .

$2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Paso 3.2

Reordena.

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Paso 3.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Paso 3.2.2

Mueve $x$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3}$

Paso 3.2.3

Mueve $2 x^{3}$ .

$6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3} + 2 x^{3}$

Paso 3.2.4

Mueve $6 h x^{2}$ .

$6 h^{2} x + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Paso 3.2.5

Reordena $6 h^{2} x$ y $2 h^{3}$ .

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Paso 3.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

Paso 4

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - (2 x^{3})}{h}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Paso 5.1.2

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 0}{h}$

Paso 5.1.3

Suma $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Paso 5.1.4

Factoriza $2 h$ de $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ .

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Paso 5.1.4.1

Factoriza $2 h$ de $2 h^{3}$ .

$\frac{2 h \cdot h^{2} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Paso 5.1.4.2

Factoriza $2 h$ de $6 h^{2} x$ .

$\frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 6 h x^{2}}{h}$

Paso 5.1.4.3

Factoriza $2 h$ de $6 h x^{2}$ .

$\frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Paso 5.1.4.4

Factoriza $2 h$ de $2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x)$ .

$\frac{2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Paso 5.1.4.5

Factoriza $2 h$ de $2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})$ .

$\frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Paso 5.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Paso 5.2.1.2

Divide $2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ por $1$ .

$2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 h^{2} + 2 (3 h x) + 2 (3 x^{2})$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 h^{2} + 6 (h x) + 2 (3 x^{2})$

Paso 5.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 h^{2} + 6 (h x) + 6 x^{2}$

Paso 5.4

Mueve $h$ .

$2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2}$

Paso 5.5

Mueve $2 h^{2}$ .

$6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2}$

Paso 5.6

Reordena $6 x h$ y $6 x^{2}$ .

$6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2}$

Paso 6