Precálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x \ln (x)$ ; $[1, e^{2}]$

Paso 1

Escribe $f (x) = 3 x \ln (x)$ como una ecuación.

$y = 3 x \ln (x)$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (e^{2}) - f (1)}{(e^{2}) - (1)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = 3 x \ln (x)$ por $f (e^{2})$ y $f (1)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(3 (e^{2}) \ln (e^{2})) - (3 (1) \ln (1))}{(e^{2}) - (1)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $2$ fuera del exponente.

$\frac{3 e^{2} (2 \ln (e)) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Paso 3.1.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{3 e^{2} (2 \cdot 1) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Paso 3.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 e^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Paso 3.1.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 e^{2} - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Paso 3.1.5

Multiplica $- 1 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Paso 3.1.6

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 0}{e^{2} - (1)}$

Paso 3.1.7

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{6 e^{2} + 0}{e^{2} - (1)}$

Paso 3.1.8

Suma $6 e^{2}$ y $0$ .

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - (1)}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - 1^{2}}$

Paso 3.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e$ y $b = 1$ .

$\frac{6 e^{2}}{(e + 1) (e - 1)}$