Precálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{5}{x - 1} + 2$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$g (x + h) = \frac{5}{(x + h) - 1} + 2$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$g (x + h) = \frac{5}{x + h - 1} + \frac{2 (x + h - 1)}{x + h - 1}$

Paso 2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$g (x + h) = \frac{5 + 2 (x + h - 1)}{x + h - 1}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$g (x + h) = \frac{5 + 2 x + 2 h + 2 \cdot - 1}{x + h - 1}$

Paso 2.1.2.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (x + h) = \frac{5 + 2 x + 2 h - 2}{x + h - 1}$

Paso 2.1.2.3.3

Resta $2$ de $5$ .

$g (x + h) = \frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$

Paso 2.1.2.4

La respuesta final es $\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$ .

$\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$g (x + h) = \frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$

$g (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$

$g (x + h) = \frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$

$g (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{g (x + h) - g x}{h} = \frac{\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1} - (\frac{2 x + 3}{x - 1})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x + 3}{x - 1}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{2 x + 3}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h - 1) (x - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{2 x + 3}{x - 1}$ por $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{(2 x + 3) (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{(2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1) - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1) - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Expande $(2 x + 2 h + 3) (x - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 h x + 2 h \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.2.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.2.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 h x + 2 h \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 h x + 2 h \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 h x + 2 h \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 h x - 2 h + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 h x - 2 h + 3 x - 3 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Suma $- 2 x$ y $3 x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 + (- (2 x) - 1 \cdot 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 + (- 2 x - 1 \cdot 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 + (- 2 x - 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Expande $(- 2 x - 3) (x + h - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x \cdot x - 2 x h - 2 x \cdot - 1 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.8.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.8.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 (x \cdot x) - 2 x h - 2 x \cdot - 1 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.8.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x^{2} - 2 x h - 2 x \cdot - 1 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.8.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x^{2} - 2 x h + 2 x - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.8.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x^{2} - 2 x h + 2 x - 3 x - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.9

Resta $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x^{2} - 2 x h - x - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.10

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{x + 2 h x - 2 h - 3 + 0 - 2 x h - x - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.11

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{\frac{x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x h - x - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.12

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{2 h x - 2 h - 3 - 2 x h + 0 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.13

Resta $2 x h$ de $2 h x$ .

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Paso 4.1.5.13.1

Mueve $h$ .

$\frac{\frac{- 2 h - 3 + 2 x h - 2 x h + 0 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.13.2

Resta $2 x h$ de $2 x h$ .

$\frac{\frac{- 2 h - 3 + 0 + 0 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.14

Suma $- 2 h$ y $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h - 3 + 0 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.15

Suma $- 2 h$ y $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h - 3 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.16

Resta $3 h$ de $- 2 h$ .

$\frac{\frac{- 5 h - 3 + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.17

Suma $- 3$ y $3$ .

$\frac{\frac{- 5 h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.18

Suma $- 5 h$ y $0$ .

$\frac{\frac{- 5 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{5 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{5 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ al numerador.

$\frac{- 5 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Factoriza $h$ de $- 5 h$ .

$\frac{h \cdot - 5}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot - 5}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 5