Precálculo Ejemplos

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$

Paso 1

Escribe $f (x) = \cot (x)$ como una ecuación.

$y = \cot (x)$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (\frac{π}{2}) - f (\frac{π}{6})}{(\frac{π}{2}) - (\frac{π}{6})}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \cot (x)$ por $f (\frac{π}{2})$ y $f (\frac{π}{6})$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(\cot (\frac{π}{2})) - (\cot (\frac{π}{6}))}{(\frac{π}{2}) - (\frac{π}{6})}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $6$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{6})}{\frac{π}{2} - \frac{π}{6}}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{6})}{\frac{π}{2} - \frac{π}{6}}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{6 (\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{6}))}{6 (\frac{π}{2} - \frac{π}{6})}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{6 \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{6})}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{2 (3) \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{6})}$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{2 \cdot 3 \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{6})}$

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{3 π + 6 (- \frac{π}{6})}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{6}$ al numerador.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{3 π + 6 \frac{- π}{6}}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{3 π + 6 \frac{- π}{6}}$

Paso 3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{3 π - π}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Factoriza $6$ de $6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))$ .

$\frac{6 (\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{6}))}{3 π - π}$

Paso 3.4.2

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{6 (0 - \cot (\frac{π}{6}))}{3 π - π}$

Paso 3.4.3

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{6})$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{6 (0 - \sqrt{3})}{3 π - π}$

Paso 3.4.4

Resta $\sqrt{3}$ de $0$ .

$\frac{6 \cdot - 1 \sqrt{3}}{3 π - π}$

Paso 3.4.5

Combina exponentes.

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Paso 3.4.5.1

Factoriza el negativo.

$\frac{- (6 \sqrt{3})}{3 π - π}$

Paso 3.4.5.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3}}{3 π - π}$

Paso 3.5

Simplifica los términos.

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Paso 3.5.1

Resta $π$ de $3 π$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3}}{2 π}$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3})}{2 π}$

Paso 3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3})}{2 (π)}$

Paso 3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3})}{2 π}$

Paso 3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{π}$

Paso 3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{π}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3 \sqrt{3}}{π}$

Forma decimal:

$- 1.65398668 \dots$