Precálculo Ejemplos

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

Paso 1

Escribe $f (x) = 4 e^{x}$ como una ecuación.

$y = 4 e^{x}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (2) - f (- 2)}{(2) - (- 2)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = 4 e^{x}$ por $f (2)$ y $f (- 2)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(4 e^{2}) - (4 e^{- 2})}{(2) - (- 2)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Reescribe $4 e^{2}$ como ${(2 e)}^{2}$ .

$\frac{{(2 e)}^{2} - 1 \cdot 4 e^{- 2}}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.2

Reescribe $4 e^{- 2}$ como ${(2 e^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{(2 e)}^{2} - {(2 e^{- 1})}^{2}}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 e$ y $b = 2 e^{- 1}$ .

$\frac{(2 e + 2 e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.4.1

Factoriza $2$ de $2 e + 2 e^{- 1}$ .

$\frac{2 (e + e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.5

Para escribir $e$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{2 (\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \frac{e e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.7

Multiplica $e e$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.7.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{1} e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.7.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.8

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 \frac{1}{e})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.8.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e + \frac{- 2}{e})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.9

Para escribir $2 e$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{2 e e}{e} - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e e - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.11

Multiplica $2 e e$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.11.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.11.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e^{1}) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.11.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{1 + 1} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.11.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.12

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.12.1

Combina $2$ y $\frac{e^{2} + 1}{e}$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1)}{e} \cdot \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.12.2

Multiplica $\frac{2 (e^{2} + 1)}{e}$ por $\frac{2 e^{2} - 2}{e}$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e e}}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.12.3

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e}}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.12.4

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e^{1}}}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.12.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1 + 1}}}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.12.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 - (- 2)}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 + 2}$

Paso 3.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{4}$

Paso 3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Combinar.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1}{e^{2} \cdot 4}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 4}$

Paso 3.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $e^{2} \cdot 4$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

Paso 3.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

Paso 3.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común de $2 e^{2} - 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1

Factoriza $2$ de $((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 2}$

Paso 3.4.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.2.1

Factoriza $2$ de $e^{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

Paso 3.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

Paso 3.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1}{e^{2}}$

Paso 3.4.4

Multiplica $e^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{e^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{e^{2}}$

Paso 3.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e$ y $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}$