Precálculo Ejemplos

$f (t) = t^{- 3}$ ;, $(\frac{1}{2}, 8)$

Paso 1

Escribe $f (t) = t^{- 3}$ como una ecuación.

$y = t^{- 3}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $t$ de los dos puntos.

$\frac{f (8) - f (\frac{1}{2})}{(8) - (\frac{1}{2})}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = t^{- 3}$ por $f (8)$ y $f (\frac{1}{2})$ , mediante el reemplazo de $t$ en la función por el valor correspondiente de $t$ .

$\frac{({(8)}^{- 3}) - ({(\frac{1}{2})}^{- 3})}{(8) - (\frac{1}{2})}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $2$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3}}{8 - \frac{1}{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3}}{8 - \frac{1}{2}}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{2 (8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 (8 - \frac{1}{2})}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cdot \frac{1}{8^{3}} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.2

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 \cdot \frac{1}{512} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $2$ de $512$ .

$\frac{2 \cdot \frac{1}{2 (256)} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 256} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1}{256} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.4

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\frac{\frac{1}{256} + 2 (- 2^{3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.5

Multiplica $2$ por $2^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.5.1

Mueve $2^{3}$ .

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3} \cdot 2 \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.5.2

Multiplica $2^{3}$ por $2$ .

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Paso 3.4.5.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3} \cdot 2^{1} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3 + 1} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.5.3

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{4} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.6

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{\frac{1}{256} + 16 \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.7

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{256} - 16}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.8

Para escribir $- 16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{256}{256}$ .

$\frac{\frac{1}{256} - 16 \cdot \frac{256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.9

Combina $- 16$ y $\frac{256}{256}$ .

$\frac{\frac{1}{256} + \frac{- 16 \cdot 256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1 - 16 \cdot 256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.11.1

Multiplica $- 16$ por $256$ .

$\frac{\frac{1 - 4096}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.11.2

Resta $4096$ de $1$ .

$\frac{\frac{- 4095}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{4095}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{- \frac{4095}{256}}{16 - 1}$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de $16$ .

$\frac{- \frac{4095}{256}}{15}$

Paso 3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{4095}{256} \cdot \frac{1}{15}$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 3.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4095}{256}$ al numerador.

$\frac{- 4095}{256} \cdot \frac{1}{15}$

Paso 3.7.2

Factoriza $15$ de $- 4095$ .

$\frac{15 (- 273)}{256} \cdot \frac{1}{15}$

Paso 3.7.3

Cancela el factor común.

$\frac{15 \cdot - 273}{256} \cdot \frac{1}{15}$

Paso 3.7.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 273}{256}$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{273}{256}$