Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{(x + h) + 8}{(x + h) - 3}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = \frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$ .

$\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$

$f (x + h) = \frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h + 8}{x + h - 3} - (\frac{x + 8}{x - 3})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{\frac{x + h + 8}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x + 8}{x - 3}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{x + 8}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ .

$\frac{\frac{x + h + 8}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x + 8}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h - 3) (x - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{x + 8}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{x + 8}{x - 3}$ por $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{(x + 8) (x + h - 3)}{(x - 3) (x + h - 3)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x - 3) (x + h - 3)$ .

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{(x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3) - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{(x + h + 8) (x - 3) - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Expande $(x + h + 8) (x - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + h x + h \cdot - 3 + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + h x + h \cdot - 3 + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} - 3 \cdot x + h x + h \cdot - 3 + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $h$ .

$\frac{\frac{x^{2} - 3 x + h x - 3 \cdot h + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.4

Multiplica $8$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} - 3 x + h x - 3 h + 8 x - 24 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Suma $- 3 x$ y $8 x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 + (- x - 1 \cdot 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 + (- x - 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Expande $(- x - 8) (x + h - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x \cdot x - x h - x \cdot - 3 - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.7.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.7.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - (x \cdot x) - x h - x \cdot - 3 - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.7.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h - x \cdot - 3 - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.7.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h + 3 x - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.7.3

Multiplica $- 8$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h + 3 x - 8 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Resta $8 x$ de $3 x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h - 5 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.9

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{5 x + h x - 3 h - 24 + 0 - x h - 5 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.10

Suma $5 x$ y $0$ .

$\frac{\frac{5 x + h x - 3 h - 24 - x h - 5 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.11

Resta $5 x$ de $5 x$ .

$\frac{\frac{h x - 3 h - 24 - x h + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.12

Resta $x h$ de $h x$ .

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Paso 4.1.5.12.1

Reordena $h$ y $x$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 + x h - x h + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.12.2

Resta $x h$ de $x h$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 + 0 + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.13

Suma $- 3 h$ y $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.14

Suma $- 3 h$ y $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.15

Resta $8 h$ de $- 3 h$ .

$\frac{\frac{- 11 h - 24 + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.16

Suma $- 24$ y $24$ .

$\frac{\frac{- 11 h + 0}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.17

Suma $- 11 h$ y $0$ .

$\frac{\frac{- 11 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{11 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{11 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{11 h}{(x + h - 3) (x - 3)}$ al numerador.

$\frac{- 11 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Factoriza $h$ de $- 11 h$ .

$\frac{h \cdot - 11}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot - 11}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 11}{(x + h - 3) (x - 3)}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{11}{(x + h - 3) (x - 3)}$

Paso 5