Precálculo Ejemplos

$B (t) = 8500 \cdot {(\frac{8}{27})}^{\frac{t}{3}}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = t + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $t$ con $t + h$ en la expresión.

$B (t + h) = 8500 \cdot {(\frac{8}{27})}^{\frac{t + h}{3}}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{27}$ .

$B (t + h) = 8500 \cdot \frac{8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

Paso 2.1.2.2

Combina $8500$ y $\frac{8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$ .

$B (t + h) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es $\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$ .

$\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$B (t + h) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

$B (t) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$

$B (t + h) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

$B (t) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{B (t + h) - B t}{h} = \frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}} - (\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$ .

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}$ .

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $27^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$ por $\frac{27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$ .

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $27^{\frac{t + h}{3}}$ por $27^{\frac{t}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3} + \frac{t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

Paso 4.1.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t + h + t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

Paso 4.1.3.2.3

Suma $t$ y $t$ .

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$ por $\frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}$ .

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

Paso 4.1.3.4

Multiplica $27^{\frac{t}{3}}$ por $27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

Paso 4.1.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{t + h + t}{3}}}}{h}$

Paso 4.1.3.4.3

Suma $t$ y $t$ .

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

Paso 4.1.5

Factoriza $8500$ de $8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}$ .

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $8500$ de $8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}$ .

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}) - 8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Factoriza $8500$ de $- 8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}$ .

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}) + 8500 (- 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Factoriza $8500$ de $8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}) + 8500 (- 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}})$ .

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

Paso 4.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.6.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h + t}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

Paso 4.1.6.2

Reordena $h$ y $t$ .

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Combinar.

$\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}}) \cdot 1}{27^{\frac{2 t + h}{3}} h}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Multiplica $8500$ por $1$ .

$\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}} h}$

Paso 4.4.2

Reordena los factores en $\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}} h}$ .

$\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{h \cdot 27^{\frac{2 t + h}{3}}}$

Paso 5