Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ , $1 \leq x \leq 3$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ como una ecuación.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ por $f (3)$ y $f (1)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3}) - (\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{1})}{(3) - (1)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Divide $\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$ por $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3} - \sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{(3) - (1)}$

Paso 3.2

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $3$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica $\frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$

Paso 3.2.2

Combinar.

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1})}{3 (3 - (1))}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3^{2} - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de $9$ .

$\frac{\sqrt{8} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.3

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.5.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1 - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.6

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.7

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0^{2}})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- 0)}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.9

Multiplica $3 (- 0)$ .

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Paso 3.5.9.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.9.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.10

Suma $2 \sqrt{2}$ y $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Paso 3.6

Simplifica el denominador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 (- (1))}$

Paso 3.6.2

Multiplica $3 (- (1))$ .

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Paso 3.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 \cdot - 1}$

Paso 3.6.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 - 3}$

Paso 3.6.3

Resta $3$ de $9$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{6}$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{6}$

Paso 3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.7.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Forma decimal:

$0.47140452 \dots$