Precálculo Ejemplos

$y = {(x + 2)}^{2}$

Paso 1

Escribe $y = {(x + 2)}^{2}$ como una función.

$f (x) = {(x + 2)}^{2}$

Paso 2

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 3

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 3.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {((x + h) + 2)}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Reescribe ${(x + h + 2)}^{2}$ como $(x + h + 2) (x + h + 2)$ .

$f (x + h) = (x + h + 2) (x + h + 2)$

Paso 3.1.2.2

Expande $(x + h + 2) (x + h + 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 2 + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Paso 3.1.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 2 + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Paso 3.1.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Paso 3.1.2.3.3

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Paso 3.1.2.3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + 2 \cdot h + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Paso 3.1.2.3.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

Paso 3.1.2.4

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 2 x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

Paso 3.1.2.4.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 2 x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

Paso 3.1.2.5

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h + 4 x + 2 h + 4$

Paso 3.1.2.6

Suma $2 h$ y $2 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Paso 3.1.2.7

La respuesta final es $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Paso 3.2

Reordena.

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Paso 3.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Paso 3.2.2

Reordena $2 h x$ y $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Paso 3.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

$f (x) = x^{2} + 4 x + 4$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

$f (x) = x^{2} + 4 x + 4$

Paso 4

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - (x^{2} + 4 x + 4)}{h}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4}{h}$

Paso 5.1.2

Simplifica.

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4}{h}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - 4 x - 4}{h}$

Paso 5.1.3

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 x + 4 + 0 - 4 x - 4}{h}$

Paso 5.1.4

Suma $h^{2}$ y $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 x + 4 - 4 x - 4}{h}$

Paso 5.1.5

Resta $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 0 + 4 - 4}{h}$

Paso 5.1.6

Suma $h^{2}$ y $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 - 4}{h}$

Paso 5.1.7

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 0}{h}$

Paso 5.1.8

Suma $h^{2} + 2 h x + 4 h$ y $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h}{h}$

Paso 5.1.9

Factoriza $h$ de $h^{2} + 2 h x + 4 h$ .

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Paso 5.1.9.1

Factoriza $h$ de $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h x + 4 h}{h}$

Paso 5.1.9.2

Factoriza $h$ de $2 h x$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + 4 h}{h}$

Paso 5.1.9.3

Factoriza $h$ de $4 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 4}{h}$

Paso 5.1.9.4

Factoriza $h$ de $h (h) + h (2 x)$ .

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 4}{h}$

Paso 5.1.9.5

Factoriza $h$ de $h (h + 2 x) + h \cdot 4$ .

$\frac{h (h + 2 x + 4)}{h}$

Paso 5.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (h + 2 x + 4)}{h}$

Paso 5.2.1.2

Divide $h + 2 x + 4$ por $1$ .

$h + 2 x + 4$

Paso 5.2.2

Reordena $h$ y $2 x$ .

$2 x + h + 4$

Paso 6