Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ for $3 \leq x \leq 6$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (6) - f (3)}{(6) - (3)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ por $f (6)$ y $f (3)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(\frac{1}{6} - {(6)}^{2} - 2) - (\frac{1}{3} - {(3)}^{2} - 2)}{(6) - (3)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $6$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2)}{6 - (3)}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2)}{6 - (3)}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{6 (\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 (6 - (3))}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (\frac{1}{6}) + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (\frac{1}{6}) + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Multiplica $6$ por $6^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1.1

Mueve $6^{2}$ .

$\frac{1 + 6^{2} \cdot 6 \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $6^{2}$ por $6$ .

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Paso 3.4.1.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 6^{2} \cdot 6^{1} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + 6^{2 + 1} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1 + 6^{3} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.2

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1 + 216 \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.3

Multiplica $216$ por $- 1$ .

$\frac{1 - 216 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.4

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.5.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 1 \cdot 9 - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.5.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 9 - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.6

Obtén el denominador común

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Paso 3.4.6.1

Escribe $- 9$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9}{1} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.6.2

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{3}{3} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.6.3

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.6.4

Escribe $- 2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.6.5

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.6.6

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 9 \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.8

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.8.1

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 27 - 2 \cdot 3}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.8.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 27 - 6}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.9

Resta $27$ de $1$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{- 26 - 6}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.10

Resta $6$ de $- 26$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{- 32}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.11

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.11.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{- 32}{3}$ al numerador.

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (\frac{32}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.11.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 3 (2) \frac{32}{3}}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.11.3

Cancela el factor común.

$\frac{1 - 216 - 12 + 3 \cdot 2 \frac{32}{3}}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.11.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 216 - 12 + 2 \cdot 32}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.12

Multiplica $2$ por $32$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.13

Resta $216$ de $1$ .

$\frac{- 215 - 12 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.14

Resta $12$ de $- 215$ .

$\frac{- 227 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.4.15

Suma $- 227$ y $64$ .

$\frac{- 163}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{- 163}{36 + 6 (- (3))}$

Paso 3.5.2

Multiplica $6 (- (3))$ .

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 163}{36 + 6 \cdot - 3}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $6$ por $- 3$ .

$\frac{- 163}{36 - 18}$

Paso 3.5.3

Resta $18$ de $36$ .

$\frac{- 163}{18}$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{163}{18}$