Precálculo Ejemplos

$d (t) = \frac{100 t}{2 t + 15}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = t + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $t$ con $t + h$ en la expresión.

$d (t + h) = \frac{100 (t + h)}{2 (t + h) + 15}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$d (t + h) = \frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$ .

$\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$d (t + h) = \frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$

$d (t) = \frac{100 t}{2 t + 15}$

$d (t + h) = \frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$

$d (t) = \frac{100 t}{2 t + 15}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{d (t + h) - d t}{h} = \frac{\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15} - (\frac{100 t}{2 t + 15})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 t + 15}{2 t + 15}$ .

$\frac{\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15} \cdot \frac{2 t + 15}{2 t + 15} - \frac{100 t}{2 t + 15}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{100 t}{2 t + 15}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 t + 2 h + 15}{2 t + 2 h + 15}$ .

$\frac{\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15} \cdot \frac{2 t + 15}{2 t + 15} - \frac{100 t}{2 t + 15} \cdot \frac{2 t + 2 h + 15}{2 t + 2 h + 15}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 t + 2 h + 15) (2 t + 15)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$ por $\frac{2 t + 15}{2 t + 15}$ .

$\frac{\frac{100 (t + h) (2 t + 15)}{(2 t + 2 h + 15) (2 t + 15)} - \frac{100 t}{2 t + 15} \cdot \frac{2 t + 2 h + 15}{2 t + 2 h + 15}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{100 t}{2 t + 15}$ por $\frac{2 t + 2 h + 15}{2 t + 2 h + 15}$ .

$\frac{\frac{100 (t + h) (2 t + 15)}{(2 t + 2 h + 15) (2 t + 15)} - \frac{100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(2 t + 2 h + 15) (2 t + 15)$ .

$\frac{\frac{100 (t + h) (2 t + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)} - \frac{100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{100 (t + h) (2 t + 15) - 100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{100 (t + h) (2 t + 15) - 100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $100$ de $100 (t + h) (2 t + 15) - 100 t (2 t + 2 h + 15)$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Factoriza $100$ de $100 (t + h) (2 t + 15)$ .

$\frac{\frac{100 ((t + h) (2 t + 15)) - 100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Factoriza $100$ de $- 100 t (2 t + 2 h + 15)$ .

$\frac{\frac{100 ((t + h) (2 t + 15)) + 100 (- t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.3

Factoriza $100$ de $100 ((t + h) (2 t + 15)) + 100 (- t (2 t + 2 h + 15))$ .

$\frac{\frac{100 ((t + h) (2 t + 15) - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Expande $(t + h) (2 t + 15)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{100 (t (2 t + 15) + h (2 t + 15) - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{100 (t (2 t) + t \cdot 15 + h (2 t + 15) - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{100 (t (2 t) + t \cdot 15 + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{100 (2 t \cdot t + t \cdot 15 + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.2

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.3.2.1

Mueve $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 (t \cdot t) + t \cdot 15 + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.2.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + t \cdot 15 + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.3

Mueve $15$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 \cdot t + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.5

Mueve $15$ a la izquierda de $h$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - t (2 t) - t (2 h) - t \cdot 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 t \cdot t - t (2 h) - t \cdot 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 t \cdot t - 1 \cdot 2 t h - t \cdot 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.3

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 t \cdot t - 1 \cdot 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.6.1

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.6.1.1

Mueve $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 (t \cdot t) - 1 \cdot 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.6.1.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.6.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 2 t^{2} - 1 \cdot 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.6.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 2 t^{2} - 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Resta $2 t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{\frac{100 (15 t + 2 h t + 15 h + 0 - 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Suma $15 t$ y $0$ .

$\frac{\frac{100 (15 t + 2 h t + 15 h - 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.9

Resta $15 t$ de $15 t$ .

$\frac{\frac{100 (2 h t + 15 h - 2 t h + 0)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.10

Suma $2 h t + 15 h - 2 t h$ y $0$ .

$\frac{\frac{100 (2 h t + 15 h - 2 t h)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.11

Resta $2 t h$ de $2 h t$ .

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Paso 4.1.5.11.1

Mueve $h$ .

$\frac{\frac{100 (15 h + 2 t h - 2 t h)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.11.2

Resta $2 t h$ de $2 t h$ .

$\frac{\frac{100 (15 h + 0)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.12

Suma $15 h$ y $0$ .

$\frac{\frac{100 \cdot 15 h}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.1.5.13

Multiplica $100$ por $15$ .

$\frac{\frac{1500 h}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1500 h}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $h$ de $1500 h$ .

$\frac{h \cdot 1500}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot 1500}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1500}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}$

Paso 5