Precálculo Ejemplos

$y = 3 \sin (6 θ)$

Paso 1

Escribe $y = 3 \sin (6 θ)$ como una función.

$f (θ) = 3 \sin (6 θ)$

Paso 2

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (θ + h) - f θ}{h}$

Paso 3

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 3.1

Evalúa la función en $x = θ + h$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $θ$ con $θ + h$ en la expresión.

$f (θ + h) = 3 \sin (6 (θ + h))$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (θ + h) = 3 \sin (6 θ + 6 h)$

Paso 3.1.2.2

La respuesta final es $3 \sin (6 θ + 6 h)$ .

$3 \sin (6 θ + 6 h)$

Paso 3.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (θ + h) = 3 \sin (6 θ + 6 h)$

$f (θ) = 3 \sin (6 θ)$

$f (θ + h) = 3 \sin (6 θ + 6 h)$

$f (θ) = 3 \sin (6 θ)$

Paso 4

Inserta los componentes.

$\frac{f (θ + h) - f θ}{h} = \frac{3 \sin (6 θ + 6 h) - (3 \sin (6 θ))}{h}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Use a sum or difference formula on the numerator.

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Paso 5.1.1

Usa la fórmula de suma para el seno para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\frac{(3 (3 (\sin (6 θ) \cos (6 h) + \cos (6 θ) \sin (6 h)))) - (3 \sin (6 θ))}{h}$

Paso 5.1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 5.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 (3 (\sin (6 θ) \cos (6 h)) + 3 (\cos (6 θ) \sin (6 h)))) - (3 \sin (6 θ))}{h}$

Paso 5.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 (3 \sin (6 θ) \cos (6 h)) + 3 (3 \cos (6 θ) \sin (6 h))) - (3 \sin (6 θ))}{h}$

Paso 5.1.2.3

Multiplica.

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Paso 5.1.2.3.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{(9 (\sin (6 θ) \cos (6 h)) + 3 (3 \cos (6 θ) \sin (6 h))) - (3 \sin (6 θ))}{h}$

Paso 5.1.2.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{(9 (\sin (6 θ) \cos (6 h)) + 9 (\cos (6 θ) \sin (6 h))) - (3 \sin (6 θ))}{h}$

Paso 5.1.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{(9 \sin (6 θ) \cos (6 h) + 9 \cos (6 θ) \sin (6 h)) - (3 \sin (6 θ))}{h}$

Paso 5.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{9 \sin (6 θ) \cos (6 h) + 9 \cos (6 θ) \sin (6 h) - 3 \sin (6 θ)}{h}$

Paso 5.2

Factoriza $3$ de $9 \sin (6 θ) \cos (6 h) + 9 \cos (6 θ) \sin (6 h) - 3 \sin (6 θ)$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $3$ de $9 \sin (6 θ) \cos (6 h)$ .

$\frac{3 (3 \sin (6 θ) \cos (6 h)) + 9 \cos (6 θ) \sin (6 h) - 3 \sin (6 θ)}{h}$

Paso 5.2.2

Factoriza $3$ de $9 \cos (6 θ) \sin (6 h)$ .

$\frac{3 (3 \sin (6 θ) \cos (6 h)) + 3 (3 \cos (6 θ) \sin (6 h)) - 3 \sin (6 θ)}{h}$

Paso 5.2.3

Factoriza $3$ de $- 3 \sin (6 θ)$ .

$\frac{3 (3 \sin (6 θ) \cos (6 h)) + 3 (3 \cos (6 θ) \sin (6 h)) + 3 (- \sin (6 θ))}{h}$

Paso 5.2.4

Factoriza $3$ de $3 (3 \sin (6 θ) \cos (6 h)) + 3 (3 \cos (6 θ) \sin (6 h))$ .

$\frac{3 (3 \sin (6 θ) \cos (6 h) + 3 \cos (6 θ) \sin (6 h)) + 3 (- \sin (6 θ))}{h}$

Paso 5.2.5

Factoriza $3$ de $3 (3 \sin (6 θ) \cos (6 h) + 3 \cos (6 θ) \sin (6 h)) + 3 (- \sin (6 θ))$ .

$\frac{3 (3 \sin (6 θ) \cos (6 h) + 3 \cos (6 θ) \sin (6 h) - \sin (6 θ))}{h}$

Paso 6