Precálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{2} - x + 1$ ;, $[2, \frac{7}{3}]$

Paso 1

Escribe $f (x) = - x^{2} - x + 1$ como una ecuación.

$y = - x^{2} - x + 1$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (\frac{7}{3}) - f (2)}{(\frac{7}{3}) - (2)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = - x^{2} - x + 1$ por $f (\frac{7}{3})$ y $f (2)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(- {(\frac{7}{3})}^{2} - (\frac{7}{3}) + 1) - (- {(2)}^{2} - (2) + 1)}{(\frac{7}{3}) - (2)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $3$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1)}{\frac{7}{3} - (2)}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1)}{\frac{7}{3} - (2)}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3} - (2))}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{3}$ al numerador.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 (- \frac{7^{2}}{3^{2}}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7^{2}}{3^{2}}$ al numerador.

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3^{2}} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $3$ de $3^{2}$ .

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3 \cdot 3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3 \cdot 3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{- 7^{2}}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.3

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot 49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.4

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$\frac{\frac{- 49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.7

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.7.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 1 \cdot 4 - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.7.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 4 - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.7.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 4 - 2 + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.8

Resta $2$ de $- 4$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 6 + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.9

Suma $- 6$ y $1$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- - 5)}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.10

Multiplica $3 (- - 5)$ .

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Paso 3.4.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 \cdot 5}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.10.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.11

Para escribir $- 7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 \cdot \frac{3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.12

Combina $- 7$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{49}{3} + \frac{- 7 \cdot 3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 49 - 7 \cdot 3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.14

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.14.1

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$\frac{\frac{- 49 - 21}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.14.2

Resta $21$ de $- 49$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.15

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.16

Combina $3$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 70 + 3 \cdot 3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.18

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.18.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{- 70 + 9}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.18.2

Suma $- 70$ y $9$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.19

Para escribir $15$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + 15 \cdot \frac{3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.20

Combina $15$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 61 + 15 \cdot 3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.22

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.22.1

Multiplica $15$ por $3$ .

$\frac{\frac{- 61 + 45}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.22.2

Suma $- 61$ y $45$ .

$\frac{\frac{- 16}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.4.23

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $3 (- (2))$ .

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 + 3 \cdot - 2}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 - 6}$

Paso 3.5.2

Resta $6$ de $7$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{1}$

Paso 3.6

Divide $- \frac{16}{3}$ por $1$ .

$- \frac{16}{3}$