Precálculo Ejemplos

$d (t) = 0.8 t^{2}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = t + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $t$ con $t + h$ en la expresión.

$d (t + h) = 0.8 {(t + h)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe ${(t + h)}^{2}$ como $(t + h) (t + h)$ .

$d (t + h) = 0.8 ((t + h) (t + h))$

Paso 2.1.2.2

Expande $(t + h) (t + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$d (t + h) = 0.8 (t (t + h) + h (t + h))$

Paso 2.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$d (t + h) = 0.8 (t \cdot t + t h + h (t + h))$

Paso 2.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$d (t + h) = 0.8 (t \cdot t + t h + h t + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + t h + h t + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + t h + h t + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2

Suma $t h$ y $h t$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Reordena $t$ y $h$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + h t + h t + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2.2

Suma $h t$ y $h t$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + 2 h t + h^{2})$

Paso 2.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$d (t + h) = 0.8 t^{2} + 0.8 (2 h t) + 0.8 h^{2}$

Paso 2.1.2.5

Multiplica $2$ por $0.8$ .

$d (t + h) = 0.8 t^{2} + 1.6 h t + 0.8 h^{2}$

Paso 2.1.2.6

La respuesta final es $0.8 t^{2} + 1.6 h t + 0.8 h^{2}$ .

$0.8 t^{2} + 1.6 h t + 0.8 h^{2}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $0.8 t^{2}$ .

$1.6 h t + 0.8 h^{2} + 0.8 t^{2}$

Paso 2.2.2

Reordena $1.6 h t$ y $0.8 h^{2}$ .

$0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$d (t + h) = 0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2}$

$d (t) = 0.8 t^{2}$

$d (t + h) = 0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2}$

$d (t) = 0.8 t^{2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{d (t + h) - d t}{h} = \frac{0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2} - (0.8 t^{2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Factoriza $0.2$ de $0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}$ .

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Paso 4.1.1.1

Mueve $h$ .

$\frac{0.8 h^{2} + 1.6 t h + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Paso 4.1.1.2

Factoriza $0.2$ de $0.8 h^{2}$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 1.6 t h + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Paso 4.1.1.3

Factoriza $0.2$ de $1.6 t h$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h) + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Paso 4.1.1.4

Factoriza $0.2$ de $0.8 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h) + 0.2 (4 t^{2}) - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Paso 4.1.1.5

Factoriza $0.2$ de $- 1 \cdot 0.8 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h) + 0.2 (4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Paso 4.1.1.6

Factoriza $0.2$ de $0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h)$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2} + 8 t h) + 0.2 (4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Paso 4.1.1.7

Factoriza $0.2$ de $0.2 (4 h^{2} + 8 t h) + 0.2 (4 t^{2})$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2} + 8 t h + 4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Paso 4.1.1.8

Factoriza $0.2$ de $0.2 (4 h^{2} + 8 t h + 4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2} + 8 t h + 4 t^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Paso 4.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe $4 h^{2}$ como ${(2 h)}^{2}$ .

$\frac{0.2 ({(2 h)}^{2} + 8 t h + 4 t^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Paso 4.1.2.2

Reescribe $4 t^{2}$ como ${(2 t)}^{2}$ .

$\frac{0.2 ({(2 h)}^{2} + 8 t h + {(2 t)}^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Paso 4.1.2.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 t h = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 t)$

Paso 4.1.2.4

Reescribe el polinomio.

$\frac{0.2 ({(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 t) + {(2 t)}^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Paso 4.1.2.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 2 h$ y $b = 2 t$ .

$\frac{0.2 ({(2 h + 2 t)}^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Paso 4.1.3

Reescribe $5 \cdot 0.8 t^{2}$ como ${(2 t)}^{2}$ .

$\frac{0.2 ({(2 h + 2 t)}^{2} - {(2 t)}^{2})}{h}$

Paso 4.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 h + 2 t$ y $b = 2 t$ .

$\frac{0.2 ((2 h + 2 t + 2 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Paso 4.1.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.1

Suma $2 t$ y $2 t$ .

$\frac{0.2 ((2 h + 4 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Paso 4.1.5.2

Factoriza $2$ de $2 h + 4 t$ .

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Paso 4.1.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 h$ .

$\frac{0.2 ((2 h + 4 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Paso 4.1.5.2.2

Factoriza $2$ de $4 t$ .

$\frac{0.2 ((2 h + 2 (2 t)) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Paso 4.1.5.2.3

Factoriza $2$ de $2 h + 2 (2 t)$ .

$\frac{0.2 (2 (h + 2 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Paso 4.1.5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{0.2 (2 (h + 2 t) (2 h + 2 t - 2 t))}{h}$

$\frac{0.2 \cdot 2 (h + 2 t) (2 h + 2 t - 2 t)}{h}$

Paso 4.1.6

Multiplica $0.2$ por $2$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) (2 h + 2 t - 2 t)}{h}$

Paso 4.1.7

Resta $2 t$ de $2 t$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) (2 h + 0 t)}{h}$

Paso 4.1.8

Multiplica $0$ por $t$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) (2 h + 0)}{h}$

Paso 4.1.9

Suma $2 h$ y $0$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) \cdot 2 h}{h}$

Paso 4.1.10

Multiplica $2$ por $0.4$ .

$\frac{0.8 (h + 2 t) h}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.8 (h + 2 t) h}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $0.8 (h + 2 t)$ por $1$ .

$0.8 (h + 2 t)$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$0.8 h + 0.8 (2 t)$

Paso 4.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $2$ por $0.8$ .

$0.8 h + 1.6 t$

Paso 4.2.3.2

Reordena $0.8 h$ y $1.6 t$ .

$1.6 t + 0.8 h$

Paso 5