Precálculo Ejemplos

$g (t) = t^{4} - t^{3} + t^{2}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = t + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $t$ con $t + h$ en la expresión.

$g (t + h) = {(t + h)}^{4} - {(t + h)}^{3} + {(t + h)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - {(t + h)}^{3} + {(t + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.2

Usa el teorema del binomio.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - (t^{3} + 3 t^{2} h + 3 t h^{2} + h^{3}) + {(t + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - (3 t^{2} h) - (3 t h^{2}) - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1.4.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 (t^{2} h) - (3 t h^{2}) - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 (t^{2} h) - 3 (t h^{2}) - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.5

Elimina los paréntesis.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.6

Reescribe ${(t + h)}^{2}$ como $(t + h) (t + h)$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + (t + h) (t + h)$

Paso 2.1.2.1.7

Expande $(t + h) (t + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t (t + h) + h (t + h)$

Paso 2.1.2.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t \cdot t + t h + h (t + h)$

Paso 2.1.2.1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t \cdot t + t h + h t + h \cdot h$

Paso 2.1.2.1.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.8.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + t h + h t + h \cdot h$

Paso 2.1.2.1.8.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + t h + h t + h^{2}$

Paso 2.1.2.1.8.2

Suma $t h$ y $h t$ .

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Paso 2.1.2.1.8.2.1

Reordena $t$ y $h$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + h t + h t + h^{2}$

Paso 2.1.2.1.8.2.2

Suma $h t$ y $h t$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$ .

$t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $t^{3}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Paso 2.2.2

Mueve $t^{2}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Paso 2.2.3

Mueve $t$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Paso 2.2.4

Mueve $t^{2}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Paso 2.2.5

Mueve $t$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Paso 2.2.6

Mueve $t^{2}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} + 2 h t + h^{2} + t^{2}$

Paso 2.2.7

Mueve $2 h t$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Paso 2.2.8

Mueve $- t^{3}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Paso 2.2.9

Mueve $- 3 h t^{2}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - 3 h^{2} t - h^{3} - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Paso 2.2.10

Mueve $- 3 h^{2} t$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Paso 2.2.11

Mueve $t^{4}$ .

$4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Paso 2.2.12

Mueve $4 h t^{3}$ .

$6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Paso 2.2.13

Mueve $6 h^{2} t^{2}$ .

$4 h^{3} t + h^{4} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Paso 2.2.14

Reordena $4 h^{3} t$ y $h^{4}$ .

$h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$g (t + h) = h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

$g (t) = t^{4} - t^{3} + t^{2}$

$g (t + h) = h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

$g (t) = t^{4} - t^{3} + t^{2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{g (t + h) - g t}{h} = \frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - (t^{4} - t^{3} + t^{2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{4} - - t^{3} - t^{2}}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- - t^{3}$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{4} + 1 t^{3} - t^{2}}{h}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $t^{3}$ por $1$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{4} + t^{3} - t^{2}}{h}$

Paso 4.1.3

Resta $t^{4}$ de $t^{4}$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} + 0 + t^{3} - t^{2}}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $h^{4}$ y $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} + t^{3} - t^{2}}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $- t^{3}$ y $t^{3}$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t + t^{2} + 0 - t^{2}}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $h^{4}$ y $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{2}}{h}$

Paso 4.1.7

Resta $t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t + 0}{h}$

Paso 4.1.8

Suma $h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t$ y $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Paso 4.1.9

Factoriza $h$ de $h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t$ .

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Paso 4.1.9.1

Factoriza $h$ de $h^{4}$ .

$\frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Paso 4.1.9.2

Factoriza $h$ de $4 h^{3} t$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Paso 4.1.9.3

Factoriza $h$ de $6 h^{2} t^{2}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Paso 4.1.9.4

Factoriza $h$ de $4 h t^{3}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Paso 4.1.9.5

Factoriza $h$ de $- h^{3}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Paso 4.1.9.6

Factoriza $h$ de $- 3 h^{2} t$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Paso 4.1.9.7

Factoriza $h$ de $- 3 h t^{2}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h^{2} + 2 h t}{h}$

Paso 4.1.9.8

Factoriza $h$ de $h^{2}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + 2 h t}{h}$

Paso 4.1.9.9

Factoriza $h$ de $2 h t$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Paso 4.1.9.10

Factoriza $h$ de $h (h^{3}) + h (4 h^{2} t)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Paso 4.1.9.11

Factoriza $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} t) + h (6 h t^{2})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Paso 4.1.9.12

Factoriza $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2}) + h (4 t^{3})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Paso 4.1.9.13

Factoriza $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3}) + h (- h^{2})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Paso 4.1.9.14

Factoriza $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2}) + h (- 3 h t)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Paso 4.1.9.15

Factoriza $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t) + h (- 3 t^{2})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Paso 4.1.9.16

Factoriza $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2}) + h (h)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h) + h (2 t)}{h}$

Paso 4.1.9.17

Factoriza $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h) + h (2 t)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$ por $1$ .

$h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Mueve $h^{2}$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$

Paso 4.2.2.2

Mueve $h$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$

Paso 4.2.2.3

Mueve $h$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - h^{2} - 3 t h - 3 t^{2} + h + 2 t$

Paso 4.2.2.4

Mueve $h$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - h^{2} - 3 t h - 3 t^{2} + 2 t + h$

Paso 4.2.2.5

Mueve $- h^{2}$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - 3 t h - 3 t^{2} - h^{2} + 2 t + h$

Paso 4.2.2.6

Mueve $- 3 t h$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

Paso 4.2.2.7

Mueve $h^{3}$ .

$4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} + h^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

Paso 4.2.2.8

Mueve $4 t h^{2}$ .

$6 t^{2} h + 4 t^{3} + 4 t h^{2} + h^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

Paso 4.2.2.9

Reordena $6 t^{2} h$ y $4 t^{3}$ .

$4 t^{3} + 6 t^{2} h + 4 t h^{2} + h^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

Paso 5