Precálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{2} + \frac{9}{x}$ , $[1, 6]$

Paso 1

Escribe $f (x) = - x^{2} + \frac{9}{x}$ como una ecuación.

$y = - x^{2} + \frac{9}{x}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (6) - f (1)}{(6) - (1)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = - x^{2} + \frac{9}{x}$ por $f (6)$ y $f (1)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(- {(6)}^{2} + \frac{9}{6}) - (- {(1)}^{2} + \frac{9}{1})}{(6) - (1)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{- {(6)}^{2} + \frac{3 (3)}{6} - (- {(1)}^{2} + \frac{9}{1})}{(6) - (1)}$

Paso 3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{- {(6)}^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} - (- {(1)}^{2} + \frac{9}{1})}{(6) - (1)}$

Paso 3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- {(6)}^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} - (- {(1)}^{2} + \frac{9}{1})}{(6) - (1)}$

Paso 3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- {(6)}^{2} + \frac{3}{2} - (- {(1)}^{2} + \frac{9}{1})}{(6) - (1)}$

Paso 3.1.2

Divide $9$ por $1$ .

$\frac{- {(6)}^{2} + \frac{3}{2} - (- {(1)}^{2} + 9)}{(6) - (1)}$

Paso 3.2

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $2$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica $\frac{- 6^{2} + \frac{3}{2} - (- 1^{2} + 9)}{6 - (1)}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- 6^{2} + \frac{3}{2} - (- 1^{2} + 9)}{6 - (1)}$

Paso 3.2.2

Combinar.

$\frac{2 (- 6^{2} + \frac{3}{2} - (- 1^{2} + 9))}{2 (6 - (1))}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- 6^{2}) + 2 (\frac{3}{2}) + 2 (- (- 1^{2} + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 6^{2}) + 2 (\frac{3}{2}) + 2 (- (- 1^{2} + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (- 6^{2}) + 3 + 2 (- (- 1^{2} + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 36) + 3 + 2 (- (- 1^{2} + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2 (- 1 \cdot 36)$ .

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$\frac{2 \cdot - 36 + 3 + 2 (- (- 1^{2} + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 36$ .

$\frac{- 72 + 3 + 2 (- (- 1^{2} + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

Paso 3.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 72 + 3 + 2 (- (- 1 \cdot 1 + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

Paso 3.5.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 72 + 3 + 2 (- (- 1 + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

Paso 3.5.4

Suma $- 1$ y $9$ .

$\frac{- 72 + 3 + 2 (- 1 \cdot 8)}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

Paso 3.5.5

Multiplica $2 (- 1 \cdot 8)$ .

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Paso 3.5.5.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{- 72 + 3 + 2 \cdot - 8}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{- 72 + 3 - 16}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

Paso 3.5.6

Suma $- 72$ y $3$ .

$\frac{- 69 - 16}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

Paso 3.5.7

Resta $16$ de $- 69$ .

$\frac{- 85}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

Paso 3.6

Simplifica el denominador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{- 85}{12 + 2 (- (1))}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2 (- (1))$ .

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Paso 3.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 85}{12 + 2 \cdot - 1}$

Paso 3.6.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 85}{12 - 2}$

Paso 3.6.3

Resta $2$ de $12$ .

$\frac{- 85}{10}$

Paso 3.7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.7.1

Cancela el factor común de $- 85$ y $10$ .

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Paso 3.7.1.1

Factoriza $5$ de $- 85$ .

$\frac{5 (- 17)}{10}$

Paso 3.7.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.7.1.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 \cdot - 17}{5 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot - 17}{5 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 17}{2}$

Paso 3.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{17}{2}$